Fundamentos de Matemáticas: Definiciones Esenciales de Sucesiones, Límites e Introducción a la Combinatoria

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

I. Combinatoria y Binomio de Newton

Las combinaciones son las diferentes formaciones de $n$ elementos que podemos seleccionar de $m$ elementos de un conjunto.

Afirmaciones sobre Fórmulas y Desarrollo

• El desarrollo de un binomio de Newton consta de $n+1$ términos. (Falso - F)
• Las combinaciones de $n$ en $0$ ($inom{n}{0}$) y $m$ en $m$ ($inom{m}{m}$) son iguales a $1$. (Verdadero - V)
• La expresión $m(m-1)(m-2)...(m+n)-n$ *no* es la fórmula de variación con repetición. (Falso - F)

Definiciones de Permutaciones y Variaciones

Las permutaciones son las diferentes formaciones que podemos hacer con los $m$ elementos de un conjunto.

Las permutaciones sin repetición son las diferentes formaciones que podemos hacer con los $m$ elementos de un conjunto, sin que un elemento pueda entrar más de una vez en la formación.

Una permutación con repetición ocurre si en dicha función o formación cualquiera se repiten $n$ términos.

La variación (o Arreglo) son las diferentes $n$ formaciones que podemos hacer de los $m$ elementos de un conjunto.

Las variaciones sin repetición son aquellas en las cuales podemos hacer grupos o formaciones de $n$ elementos de un conjunto sin repetir un término.

En una variación sin repetición, un elemento *no* puede entrar más de una vez en una formación. (Falso - F)

La variación con repetición son las diferentes formaciones de $n$ elementos de los $m$ elementos de un conjunto, donde *sí* se permite la repetición.

II. Sucesiones y Límites

Conceptos de Sucesiones

Una sucesión es una función que asigna a un número natural un número real cualquiera.

Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. (Nota: La fórmula $a_n = f(n) = a r^{n-1}$ corresponde a una progresión geométrica).

Tipos de Sucesiones

• Una sucesión es monótona creciente si para cualquier valor $k$, $a_k \le a_{k+1}$.
• Una sucesión es oscilante cuando no es monótona creciente ni monótona decreciente.
• Una sucesión es alternante si los signos de sus términos cambian al pasar de un término a otro de forma consecutiva.

Indeterminaciones y Límites

Cuando una sucesión presenta la forma $\infty/\infty$, es una indeterminación que se resuelve dividiendo cada uno de los términos por la variable que tenga mayor potencia.

Cuando es $0/0$, también es una indeterminación, pero se resuelve factorizando o, en el contexto de polinomios, dividiendo por la variable que tiene menor potencia.

El límite del cociente de dos sucesiones es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador sea diferente de cero.

III. Intervalos y Simetría

Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números reales dados.

Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

La simetría es la igualdad entre dos distancias a un punto o eje de referencia. (Verdadero - V)