Fundamentos de Matemáticas: Funciones, Logaritmos y Geometría Analítica

Fundamentos de Matemáticas

Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto
f(x) = √x (i) es una función radical
f(x) = 1/x (a) es una función racional
f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de Funciones

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }
La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0)
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0 , ∞)
• El recorrido de la función seno es el intervalo [ -1,1]
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Logaritmos

Ejercicios de Logaritmos

Ejercicio 1

El log_1/49 -2 ¿cuál es el valor de b? C. 7

Ejercicio 2

El log₅ 625 = x ¿cuál es el verdadero valor de x? A. 4

Ejercicio 3

Si f(x) = (2/3)^x cuando x = -2; la imagen tendría un valor de: B. 2.25

Ejercicio 4

El log₃ x = 4 ¿cuál es el valor de x? A. 81

Propiedades de Logaritmos

125^1/3 = 5 LOG₁₂₅ 5 = 1/3
Log₅ 625 = 4 5⁴ = 625

Log₂ 30 = log30/log2 = 1,4771/0,3010 = 4,9073
Log9 + log28 - log7 = log(9.28) - log7 = log(252) - log7 = log252/log7 = log36 = 1,556

Secciones Cónicas

Definiciones

La parábola es el lugar geométrico formado por los puntos P(x,y) del plano cartesiano tales que equidistan de un punto fijo llamado FOCO y una recta fija llamada DIRECTRIZ. (V)
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados Focos, es constante. (F)
La circunferencia define a una curva formada por un conjunto de puntos en el plano, que equidistan de un punto fijo llamado centro. (V)
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias de dos puntos fijos llamados focos, es constante. (F)

Ejemplos de Secciones Cónicas

x²-92y²-9=0  HIPÉRBOLA
9x²+4y²-36=0  ELIPSE
x²+2x-6y-3=0  PARÁBOLA
x² + y²+2x-6y-5=0  ELIPSE

Ejercicios de Secciones Cónicas

Ejercicio 1

Si una elipse tiene como semieje mayor 4 y semidistancia focal 5, su excentricidad es: C. e=5/4

Ejercicio 2

Si una elipse HORIZONTAL tiene semieje menor A y semieje mayor 6 sus vértices A y A´ son: B. A(6;0) y A´(-6;0)

Ejercicio 3

Si una hipérbola HORIZONTAL tiene semieje real 3 y semieje imaginario 1, sus vértices B y B´ son: A. B(3;0) y B´(-3;0)

Ejercicio 4

Si la hipérbola VERTICAL tiene como semidistancia focal √12, el foco F´es: D. Ninguna

Progresiones Aritméticas

a₁ + r = a₂
a₂ + r = a₃
a₃ + r = a₄
a₁ + r = a₂
a₂ + r = a₃ ⇔ (a₁ + r) + r = a₃ ⇔ a₁ + 2r = a₃
a₃ + r = a₄ = 20 ⇔ (a₁ + 2r) + r = a₄ ⇔ a₁ + 3r = a₄ ⇔ a₁ + 3r = 20
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 56 ⇔ a₁ + (a₁ +r) + (a₁ +2r) + (a₁ +3r) = 56
⇔ 4a₁ +6r = 56
a₁ + 3r = 20 por -4
4a₁ +6r = 56
-4a₁ - 12r = -80
-6r = -24
r = 4
a₃ + r = a₄ ⇔ a₃ + 4 = 20 ⇒ a₃ = 16
a₂ + 4 = a₃ ⇔ a₂ + 4 = 16 ⇒ a₂ = 12
a₁ + 4 = a₂ ⇔ a₁ + 4 = 12 ⇒ a₁ = 8
a₁ = 8
a₂ = 12
a₃ = 16
a₄ = 20