Fundamentos Matemáticos del Ajuste de Observaciones: Residuos y Concepto de Peso

Fundamentos Matemáticos del Ajuste de Observaciones

3.4 Ecuaciones de Condición y Residuos (Parte II)

En el contexto del ajuste de observaciones, se definen las siguientes matrices:

• B_rxn: Matriz de coeficientes de los residuos, con un rango de (r x n).
• V_nx1: Matriz de residuos, de dimensión (n x 1).
• D_rx1: Matriz de componentes numéricas o de observaciones, menos las constantes numéricas de las ecuaciones de condición. Su rango es (r x 1).

Dado que en este método el número de ecuaciones de condición disponibles (r) es igual al número de medidas redundantes, y cada una de ellas contiene un número desconocido de residuos (hasta totalizar n residuos, igual al número de observaciones), el número de ecuaciones (r) del sistema de ecuaciones de condición siempre será menor que el de incógnitas (n). Esta particularidad implica varias consideraciones:

1. No es posible expresar cada residuo de forma separada en una ecuación.
2. Para resolver cada problema, es necesario considerar las ecuaciones que provienen de minimizar la suma del cuadrado de los residuos, expresada como:

   

3. Esto implica un modelo distinto para la suma de los cuadrados de los residuos:

   

3.5 Concepto de Peso en Medidas

La precisión de una serie de medidas se define como el grado de proximidad entre las medidas de un mismo mensurando. Los parámetros de dispersión, como la desviación estándar (σ) o la varianza (σ²), de la distribución de probabilidad de un mensurando o de la componente aleatoria del error cometido, son utilizados frecuentemente como indicadores de la precisión.

Es importante destacar que tanto la desviación estándar como la varianza son medidas inversas de la precisión. Sin embargo, el peso (p), cuyo valor es inversamente proporcional a la varianza, es una medida directa de la precisión. Se define mediante la relación:

p = k / σ²

donde k es una constante de proporcionalidad.

Si para una serie de medidas se considera el peso igual a la unidad, a la varianza se le denomina varianza de referencia (σ²₀). Esta se expresa de la siguiente forma:

La varianza de referencia corresponde a una serie de medidas de un mensurando cuyo peso es la unidad, y puede ser utilizada para determinar el peso de otros mensurandos (p_i) que se analicen conjuntamente:

p = σ²₀ / σ²_i

En el supuesto de observables incorreladas, la matriz de varianzas (Σ) se define como:

Y la matriz de pesos (P):

(CONTINÚA)