Conceptos Fundamentales de Funciones y Cálculo Diferencial

Funciones Trascendentales

Función Logarítmica

La función logarítmica de base $a$ ($a > 0$ y $a \neq 1$) es una aplicación que tiene por dominio al conjunto de los números reales estrictamente positivos (denotado $\mathbb{R}^+$) y por codominio al conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).

• Es biyectiva.
• Tiene por función recíproca a la función exponencial de base $a$.

Se la denota formalmente como:

$$\log_a: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$$

Donde la relación es: $x \mapsto y = \log_a(x) \iff x = a^y$.

Función Exponencial

La función exponencial es una aplicación de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^+$, biyectiva y continua en todo su dominio, con la forma $y = f(x) = a^x$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$.

Se denota:

$$\text{Exp}_a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$$

Donde la relación es: $x \mapsto y = a^x = \text{Exp}_a(x)$.

Monotonía de la Función Exponencial

• Si la base $a$ es mayor que 1 ($a > 1$), la función es creciente.
• Si la base $a$ es menor que 1 ($0 < a < 1$), la función es decreciente.

Concepto de Entorno

El entorno de un punto se relaciona con la distancia entre dos puntos, ya que el entorno es el conjunto de todos los puntos que distan del punto en cuestión en una medida menor al radio.

Para calcular el entorno, se debe considerar la distancia con el punto límite del radio. El entorno abierto de centro $x$ y radio $r$ se define como:

$$U(x, r) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(x, y) < r\}$$

Cálculo Diferencial: Derivada y Diferenciabilidad

Definición de Diferenciabilidad

Sea $f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $x_0 \in D$. Se dice que $f$ es diferenciable en $x_0$ si existe una función $h \mapsto g(h)$ definida en un entorno de cero y un número real $a$, independiente de $h$, tal que:

$$f(x_0 + h) = f(x_0) + a \cdot h + g(h) \cdot h$$

con $\lim_{h \to 0} g(h) = 0$.

Relación con la Derivabilidad

Para que una función $f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea diferenciable en $x_0 \in D$ es necesario y suficiente que sea derivable en $x_0$.

Si $h \neq 0$, podemos despejar la expresión anterior:

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = a + g(h)$$

Aplicando el límite cuando $h \to 0$ y sabiendo que $\lim_{h \to 0} g(h) = 0$, se obtiene:

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = a$$

Por consiguiente, $f$ es derivable en $x_0$ y $a = f'(x_0)$.

Interpretación Geométrica de la Derivada

Se sabe que la recta tangente $T$ en el punto $M_0$ de abscisa $x_0$ tiene pendiente $f'(x_0)$.

Si para un valor de $h$ tal que $x_0 + h$ pertenece al dominio, consideramos los puntos $M$ sobre la gráfica de la función y $P$ sobre la tangente, y recordando la definición de diferenciabilidad:

$$f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot h + g(h) \cdot h$$

La diferencia vertical entre el punto de la curva y el punto de la tangente es el error $\overline{PM}$:

$$\overline{PM} = f(x_0 + h) - f(x_0) - h \cdot f'(x_0) = g(h) \cdot h$$

Se puede observar que la derivada $f'(x_0)$ es la pendiente de la recta tangente. El término $d f(x_0, h) = h \cdot f'(x_0)$ representa la diferencial (el incremento sobre la tangente).

El límite del error relativo es:

$$\lim_{h \to 0} \frac{\overline{PM}}{h} = \lim_{h \to 0} g(h) = 0$$

Esto se traduce diciendo que la distancia vertical $\overline{PM}$ tiende hacia cero más rápidamente que $h$.

Definición Formal de Derivada (Límite del Cociente Incremental)

Considerando la recta secante $D$ a la gráfica de la función $y=f(x)$:

Dada una función $f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $x_0$ y $x_0 + h$ elementos del dominio, si el límite existe cuando $h$ tiende a cero, se dice que $f$ es derivable en $x_0$ y se utiliza la notación:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Si la derivada existe, es única.