Fundamentos Matemáticos Clave: Definiciones y Propiedades Esenciales

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Cálculo

Definiciones Básicas

• Valor Absoluto

  Es el mismo número si es positivo y su opuesto si es negativo.

• Distancia

  Es el valor absoluto de la diferencia entre dos números.

• Entorno

  Es el conjunto de números reales cuya distancia al centro a es menor que el radio r. Se representa como (a - r, a + r).

  • Entorno Reducido

    Es un entorno al que se le ha excluido el centro. Se representa como (a - r, a) U (a, a + r).

• Factorial

  Es el producto de un número natural por todos los números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n!.

• Números Combinatorios

  Se representan como (m sobre p) y se calculan mediante la fórmula: (m sobre p) = m! / (p!(m - p)!).

  Propiedades:

  1. (m sobre p) = (m sobre m - p)
  2. (m sobre p) = (m - 1 sobre p) + (m - 1 sobre p - 1)

Operaciones con Radicales

• Raíz Enésima

  La raíz enésima de un número a es otro número b, tal que bⁿ = a.

• Simplificar un Radical

  Se divide el índice del radical y el exponente del radicando por el Máximo Común Divisor (MCD) de ambos.

• Introducir Factores en un Radical

  Se eleva el factor al índice del radical y se introduce dentro del radical multiplicando al radicando.

• Extraer Factores de un Radical

  Se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz; el cociente sale fuera del radical como exponente del número, y el resto se queda como exponente del número dentro del radical.

• Racionalizar

  Consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente.

Logaritmos y Binomio de Newton

• Logaritmo

  El logaritmo en base a (donde a > 0 y a ≠ 1) de un número p > 0 es el exponente x al que hay que elevar la base a para obtener el número p.

  log_a p = x ↔ a^x = p

• Término General del Binomio de Newton

  • Si se tiene (a + b)ⁿ:

    T_r+1 = (n sobre r) a^n-r b^r

  • Si se tiene (a - b)ⁿ:

    T_r+1 = (-1)^r (n sobre r) a^n-r b^r

Polinomios y sus Propiedades

• Regla de Ruffini

  Es un procedimiento para hallar de forma abreviada los coeficientes del cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x + a o x - a.

• Valor Numérico de un Polinomio

  Es el valor que se obtiene al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones.

• Teorema del Resto

  El resto que se obtiene al dividir el polinomio P(x) entre el binomio x - a es el valor numérico del polinomio para x = a.

• Raíz de un Polinomio

  Es un número para el que el valor numérico del polinomio es cero.

• Teorema del Factor

  El polinomio P(x) es divisible entre el binomio x - a, si x = a es una raíz de P(x).