Fundamentos Matemáticos: La Doble Naturaleza Cardinal y Ordinal de los Números Naturales

Fundamentos de la Secuencia Numérica: Cardinalidad y Orden

Secuencia Cardinal y Secuencia Ordinal

Secuencia Cardinal: $C = \{0, 1, 2, \dots\}$

Secuencia Ordinal: $O = \{0, 1, 2, \dots\}$

Ambas estructuras son isomorfas en el sentido de que existe una correspondencia biunívoca que conserva el orden entre ambos conjuntos ($C \leftrightarrow O$), la cual asigna a cada número cardinal el ordinal correspondiente. Ello permite definir el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$, de la siguiente forma:

Los números naturales son los números cardinales finitos o los números ordinales finitos, ya que ambas secuencias son isomorfas, y se escribirá: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$. Por tanto, el número natural posee intrínsecamente la doble interpretación: cardinal y ordinal, o viceversa.

Relación de Orden en $\mathbb{N}$

Si $m$ y $n$ son dos números naturales, diremos que $m$ es menor o igual que $n$, y escribiremos $m \le n$, si y solo si $m \le n$ considerados $m$ y $n$ como cardinales o como ordinales. Esta relación posee las mismas propiedades tanto en el caso de los cardinales como en el de los ordinales:

• Es un orden total: Porque dados dos naturales cualesquiera $m$ y $n$, siempre se puede decidir si $m < n$, $n < m$ o si $m = n$.
• Se trata de una buena ordenación: Porque cualquiera de sus subconjuntos tiene un primer elemento.

Resultados Clave sobre la Conjunción Cardinal-Ordinal

Los conceptos de número cardinal y ordinal presentan un carácter indisociable cuya conjunción forma la esencia del número natural. Son importantes los siguientes resultados:

Postulado Fundamental de la Aritmética

El número cardinal de un conjunto coincide con el ordinal del último elemento, y es siempre el mismo cualquiera que sea el orden en que se haya realizado el recuento.

Particiones Asociadas a un Número Ordinal

La parte formada por todos aquellos elementos que son anteriores a la posición ordinal dada, y la formada por todos los posteriores. Con esto se determina la determinación de dos clases de números cardinales: uno de ellos se obtiene contando del 1 a $n$, y los otros de $n$ en adelante.

Número Ordinal Mediante el Cardinal

Dando como dato un número cardinal, se puede obtener una posición ordinal.

Relaciones Debidas al Isomorfismo

• Para localizar un número $n$ determinado en la secuencia se ha tenido que contar exactamente $n$ números. Recíprocamente, dando un número cardinal se puede determinar la posición a la que hemos llegado.

Conservación del Orden

Como el isomorfismo cardinal-ordinal conserva el orden, pueden resolverse problemas relacionados con la cardinación a través de la ordinación y viceversa.