Fundamentos Matemáticos Esenciales: Conjuntos Numéricos, Ecuaciones y Potenciación

Fundamentos de Conjuntos Numéricos

En el estudio de los números, se distinguen varios conjuntos fundamentales:

• Racionales ($\mathbf{Q}$)
• Irracionales
• Enteros ($\mathbf{Z}$)
• Naturales ($\mathbf{N}$)
• Cero
• Enteros Negativos

Números Racionales ($\mathbf{Q}$)

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir en forma de **cociente** ($a/b$, donde $b \neq 0$).

Incluyen:

• Números Enteros
• Números Fraccionarios
• Números Decimales que son:
  • Expresiones Decimales Exactas (EDE)
  • Expresiones Decimales Periódicas (EDP), ya sean puras (EDPP) o mixtas (EDPM).

Números Irracionales

Los números irracionales son aquellos que poseen **infinitas cifras decimales no periódicas** y, en consecuencia, no pueden representarse mediante un número racional. No se pueden escribir como **fracción**.

Nota importante: Solo los números que se encuentran en el campo $\mathbf{Q}$ (Racionales) pueden escribirse como fracción. Además, las raíces de números negativos no tienen solución en el campo de los números reales.

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones

En las ecuaciones distinguimos varios elementos clave:

Elementos de una Ecuación

• Incógnita: La letra o variable que figura en la ecuación.
• Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo de **igualdad** ($=$).
• Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de una ecuación.
• Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones.

Solución y Clasificación de Ecuaciones

La **solución** de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

• Si una ecuación tiene solución, se llama **compatible**.
• Si una ecuación no tiene solución, se dice **incompatible**.
• Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dicen que son **equivalentes**.

Propiedades Fundamentales de la Potenciación

1. Producto de potencias de igual base

Es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

2. Cociente de potencias de igual base

El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta del exponente del dividendo menos el del divisor.

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

3. Potencia de una potencia

Es otra potencia de la misma base y de exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión.

$$(a^n)^m = a^{m \cdot n}$$

4. Potencia de un producto

Es igual al producto de dichas potencias.

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

5. Potencia de un cociente

Es igual al cociente de dichas potencias.

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

6. Exponente cero

Toda cantidad con exponente cero es igual a 1, siempre que la base sea diferente de cero.

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

7. Exponentes enteros negativos

Si "$n$" es cualquier entero positivo y "$a$" un número real diferente de cero, se cumple que:

• $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
• $$a^n = \frac{1}{a^{-n}}$$

En caso de que la base sea un número racional, se tiene que:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

8. Regla de los Signos en la Potenciación ($a^n$)

• Si el exponente "$n$" es **par**, el resultado es **positivo**, sin importar el signo de la base.
• Si el exponente "$n$" es **impar**, el resultado lleva el **signo de la base**.