Fundamentos Matemáticos Esenciales: Sucesiones, Vectores y Ecuaciones

Conceptos Fundamentales de Sucesiones

Límite de una Sucesión

Una sucesión tiene límite A, siendo A un número real, cuando el valor absoluto de la diferencia de los términos con el límite es tan pequeño como se desee (se hace más pequeña a medida que aumentamos el orden de los términos).

Definición de Sucesión

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales. Es fundamental que exista un orden entre sus elementos. Cada uno de los elementos de la sucesión se denomina término.

Término General de una Sucesión

El término general es una fórmula que permite calcular el valor de cualquier término de la sucesión en función de su orden (posición).

Tipos de Sucesiones Notables

Progresión Aritmética

Una sucesión es una Progresión Aritmética cuando cada término se obtiene a partir del anterior sumando o restando una cantidad fija, denominada diferencia.

Progresión Geométrica

Una sucesión es una Progresión Geométrica cuando cada término se obtiene a partir del anterior multiplicando o dividiendo por una cantidad fija, llamada razón.

Vectores: Conceptos Esenciales

Definición y Componentes del Vector

Un vector es un segmento orientado que une dos puntos, indicando un origen y un extremo. Sus componentes fundamentales son:

• Módulo: Representa la longitud o magnitud del vector.
• Dirección: Indica la línea sobre la que se encuentra el vector (el ángulo que forma con un eje de referencia).
• Sentido: Determina la orientación del vector sobre su dirección (por ejemplo, de A a B o de B a A).

Clasificación de Vectores

• Vectores Fijos: Aquel que está anclado a un punto específico, generalmente el origen de coordenadas.
• Vectores Equipolentes: Son aquellos vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, independientemente de su punto de origen.
• Vector Nulo: Es un vector cuyo origen y extremo coinciden, por lo que su módulo es cero.
• Vector Libre: No está anclado a un punto específico; puede trasladarse manteniendo su módulo, dirección y sentido.

Ángulos y sus Medidas

Definición de Ángulo

Un ángulo es el espacio del plano comprendido entre dos semirrectas secantes que comparten un punto de origen común (vértice).

Unidades de Medida de Ángulos

Grados

Los grados son cada una de las 360 partes iguales en que se divide una circunferencia completa.

Radián

Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco de longitud igual a la del radio de dicha circunferencia.

Intervalos Numéricos

Definición de Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentran entre otros dos números, llamados extremos.

Clasificación de Intervalos

• Intervalo Abierto: Es aquel en el que los extremos no pertenecen al intervalo. Se representa con paréntesis (a, b).
• Intervalo Cerrado: Es aquel en el que los extremos sí pertenecen al intervalo. Se representa con corchetes [a, b].
• Intervalo Semiabierto: Es aquel en el que solo uno de los extremos pertenece al intervalo. Puede ser (a, b] o [a, b).

Inecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

Inecuación: Concepto y Resolución

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en la que se debe hallar el conjunto de valores de las incógnitas que verifican dicha desigualdad numérica.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Métodos de Resolución

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se suelen emplear los siguientes métodos:

• Reducción: Siempre es un método aconsejable, especialmente cuando se pueden eliminar incógnitas sumando o restando ecuaciones.
• Sustitución: Es aconsejable cuando al menos uno de los coeficientes de alguna incógnita es 1 o -1, permitiendo despejarla fácilmente.
• Igualación: Es aconsejable cuando los dos coeficientes de la misma incógnita son iguales (o se pueden igualar fácilmente), permitiendo despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones puede clasificarse según el número de soluciones:

• Compatible Determinado: Tiene un número finito y único de soluciones.
• Compatible Indeterminado: Tiene un número infinito de soluciones.
• Incompatible: No tiene ninguna solución.

Ecuaciones e Identidades

Definición de Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que debemos hallar el/los valor/es de las incógnitas para que la igualdad sea numérica.

Definición de Identidad

Una identidad es una igualdad entre dos polinomios que son equivalentes, es decir, que tienen el mismo valor para cualquier valor de las variables.

Distinción Clave: Ecuación vs. Identidad

La principal diferencia radica en que una ecuación solo es cierta para algunos valores específicos de la incógnita, mientras que una identidad es cierta para cualquier valor que se le asigne a la incógnita.