Fundamentos Matemáticos: Funciones, Sistemas, Semejanza y Trigonometría

Funciones

Definición y propiedades

Definición de función: Una función es una relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primer conjunto (dominio) un único elemento del segundo conjunto (imagen).

Función par: Una función es par si es simétrica respecto del eje de ordenadas. Esto implica que f(x) = f(-x) para cualquier valor de x en el dominio. Es decir, tiene las mismas imágenes al sustituir x por -x.

Función impar: Una función es impar si es simétrica respecto del origen. Esto implica que f(-x) = -f(x) para cualquier valor de x en el dominio.

Dominio de una función: El dominio de una función son los valores de la variable independiente (x) que admiten imagen (y o f(x)).

Dominio de una función polinómica: El dominio de una función polinómica es siempre (-∞, +∞), es decir, todos los números reales.

Gráfica de una función: La gráfica de una función puede pasar dos veces por el eje de abscisas. Cada punto de la gráfica representa un par ordenado (x, f(x)).

Sistemas de Ecuaciones

Definición y tipos de sistemas

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una solución, ninguna o infinitas soluciones.

Sistema compatible determinado: Tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones.

Sistema incompatible: No tiene solución.

Métodos de resolución

Solución de una ecuación: Una solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

Ecuaciones con la incógnita en el denominador: En las ecuaciones en las que la incógnita está en el denominador, conviene hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores para resolverla.

Método de sustitución: Consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituir en la otra.

Semejanza

Definición y propiedades

Triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Triángulos rectángulos semejantes: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales.

Triángulos con base y altura proporcionales: Si dos triángulos tienen la base y la altura proporcionales, pueden ser semejantes, pero no necesariamente lo son. Se requiere información adicional sobre los ángulos.

Cuadrados semejantes: Todos los cuadrados son semejantes.

Polígonos semejantes: Si dos polígonos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales.

Trigonometría

Razones trigonométricas

Tangente: Si conocemos el cateto contiguo de un ángulo y queremos conocer el cateto opuesto de ese ángulo, utilizamos la tangente del ángulo: tan(ángulo) = cateto opuesto / cateto contiguo.

Seno: Si conocemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo y queremos conocer el cateto opuesto a un ángulo, utilizamos el seno del ángulo: sen(ángulo) = cateto opuesto / hipotenusa.

Coseno: Si conocemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo y queremos conocer el cateto contiguo a un ángulo, utilizamos el coseno del ángulo: cos(ángulo) = cateto contiguo / hipotenusa.

Ángulo de 45º: Su seno y su coseno coinciden.

Razones trigonométricas de 20º: No pueden calcularse de forma exacta las razones trigonométricas de 20º.

Seno y coseno de un ángulo agudo: El seno y el coseno de un ángulo agudo han de ser mayores que 0 y menores que 1.