Fundamentos de la Mecánica de Fluidos: Ejercicios Resueltos de Hidrostática y Viscosidad

Recopilación de Problemas Fundamentales de Hidrostática y Dinámica de Fluidos

Problema 1: Equilibrio de un Cono Invertido Sumergido

Este problema aborda el equilibrio de fuerzas (Peso y Empuje) en un cuerpo sumergido.

Fórmulas Fundamentales

• Fuerza de Empuje: $P_z = \gamma_{\text{líquido}} \cdot V_{\text{sumergido}}$
• Peso del Elemento: $W = \gamma_{\text{elemento}} \cdot V_{\text{total}}$
• Densidad: $\rho = \text{masa} / \text{volumen}$

Cálculos y Resultados

1. Cálculo del Volumen Total (asumiendo un radio de 0.1 m):
   $V_{\text{total}} = \pi/3 \cdot (0.1^3) = 1.047 \text{ m}^3$
2. Cálculo del Peso ($W$):
   $(\rho_{\text{elemento}} = 600 \text{ kg/m}^3) \cdot (V_{\text{elemento}} = 2\text{e}^{-4} \text{ m}^3) = 0.12 \text{ kg}$ (Masa)
   Por lo tanto, el peso $W = 1.1772$ (asumiendo $g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$ o utilizando unidades de fuerza equivalentes).
3. Cálculo del Volumen Sumergido ($V_{\text{sumergido}}$) (Asumiendo equilibrio $P_z = W$ y $\gamma_{\text{líquido}} = 1000 \text{ kg/m}^3$):
   $V_{\text{sumergido}} = 1.1772 / 1000 = 1.1772\text{e}^{-3} \text{ m}^3$
4. Cálculo del Volumen Final (Esta suma parece ser un paso intermedio o un error de transcripción, pero se mantiene el valor original):
   $V_{\text{final}} = 1.047 + 1.1772\text{e}^{-3}$
5. Volumen Final (Valor utilizado en el cálculo de altura):
   $V_{\text{final}} = 1047.2 + 1177.2 = 2219.4$ (Unidades inconsistentes, pero se mantiene el valor numérico para el siguiente paso).
6. Cálculo de la Altura ($h$):
   $2219.4 = (\pi \cdot h^3) / 3$
   Despejando $h = 12.85 \text{ cm}$

Problema 2: Tensión Cortante en Superficies Separadas (Viscosidad)

Cálculo de la fuerza total requerida para mover una placa entre dos superficies con diferente separación, considerando la viscosidad absoluta.

Datos Iniciales

• Área de la placa ($A$): $40 \text{ dm}^2 = 0.4 \text{ m}^2$
• Velocidad ($v$): $32/100 = 0.32 \text{ m/s}$
• Viscosidad absoluta ($\mu$): $0.1 \text{ Pa}\cdot\text{s}$
• Separación 1: $8\text{e}^{-3} \text{ m}$
• Separación 2: $17\text{e}^{-3} \text{ m}$

Cálculo de la Tensión Cortante ($\tau$) y Fuerza ($F$)

La fuerza se calcula como $F = A \cdot \tau$, donde $\tau = \mu \cdot (dv/dy)$.

1. Tensión Cortante 1 ($\tau_1$):
   $\tau_1 = 0.1 \cdot (0.32 / 8\text{e}^{-3}) = 4 \text{ Pa}$
2. Tensión Cortante 2 ($\tau_2$):
   $\tau_2 = 0.1 \cdot (0.32 / 17\text{e}^{-3}) = 1.88 \text{ Pa}$
3. Fuerza 1 ($F_1$):
   $F_1 = (0.4) \cdot (4) = 1.6 \text{ N}$
4. Fuerza 2 ($F_2$):
   $F_2 = (0.4 \cdot 1.88) = 0.753 \text{ N}$
5. Fuerza Total Requerida ($F_{\text{total}}$):
   $F_{\text{total}} = F_1 + F_2 = 1.6 + 0.753 = 2.353 \text{ kg}$ (Nota: La unidad final 'kg' sugiere que el resultado es una masa o que se está utilizando una unidad de fuerza no estándar, pero se mantiene el valor numérico).

Problema 3: Diferencia de Presiones en un Sistema de Manómetros

Determinación de la diferencia de presión ($P_A - P_B$) utilizando un manómetro diferencial con agua y mercurio.

Datos y Convenciones

• Fluidos: Agua ($\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$) y Mercurio ($\rho_{\text{rel}} = 13.6$, $\rho = 13600 \text{ kg/m}^3$)
• Distancias (en metros): $1, 1.5, 1.2, 0.5, 1.3$

Ecuación de Manometría (Recorrido de Presiones)

Se establece la ecuación de equilibrio de presiones desde el punto A hasta el punto B:

$P_A + (1000)(1) - (13600)(1.5) + (1000)(1.2) + (13600)(0.5) - (1000)(1.3) - P_B = 0$

Resolución

$P_A - P_B + 1000 - 20400 + 1200 + 6800 - 1300 = 0$

$P_A - P_B = 12700 \text{ kg/m}^2$ (Nota: La unidad $\text{kg/m}^2$ es una unidad de presión en el sistema técnico, equivalente a $\text{kgf/m}^2$).

Problema 4: Flotación de un Iceberg (Principio de Arquímedes)

Cálculo del volumen total de un iceberg dado su volumen emergido y las densidades específicas.

Datos

• Densidad específica del hielo ($\gamma_{\text{hielo}}$): $915 \text{ kg/m}^3$
• Densidad específica del agua de mar ($\gamma_{\text{H}_2 ext{O}}$): $1028 \text{ kg/m}^3$
• Volumen Emergido ($V_{\text{emerge}}$): $30000 \text{ m}^3$

Relaciones de Volumen y Equilibrio

• $V_{\text{total}} = V_{\text{emerge}} + V_{\text{sumergido}}$
• Equilibrio de Fuerzas: $W = P_z$
• $W = V_{\text{total}} \cdot \gamma_{\text{hielo}}$
• $P_z = V_{\text{sumergido}} \cdot \gamma_{\text{H}_2 ext{O}}$

Desarrollo de la Ecuación

$V_{\text{total}} \cdot (915) = V_{\text{sumergido}} \cdot (1028)$

Sustituyendo $V_{\text{total}} = (30000 + V_{\text{sumergido}})$:

$(30000 + V_{\text{sumergido}}) \cdot (915) = 1028 \cdot V_{\text{sumergido}}$

Resultados

• Volumen Sumergido: $V_{\text{sumergido}} = 242920.354 \text{ m}^3$
• Volumen Total: $V_{\text{total}} = 30000 + 242920.354 = 272920.35 \text{ m}^3$

Problema 5: Manómetro Diferencial y Densidad Relativa

Cálculo de la densidad relativa de un líquido B a partir de la diferencia de presión entre dos depósitos conectados por un manómetro.

Datos de los Depósitos y Manómetro

Conversión de Presiones (a $\text{kg/m}^2$)

Utilizando el factor de conversión $1 \text{ kPa} \approx 0.010197 \text{ kg/m}^2$ por Pascal:

• $P_A = (103.4) \cdot (0.010197) = 10503 \text{ kg/m}^2$
• $P_B = (68.95) \cdot (0.010197) = 7030.94 \text{ kg/m}^2$
• $P_{\text{manómetro}} = (305) \cdot (0.133) \cdot (0.010197) = 4146.9 \text{ kg/m}^2$ (Nota: El factor 0.133 parece ser parte de una conversión específica de mmHg a la unidad de presión utilizada).

Ecuación de Equilibrio y Cálculo de $\rho_B$

La ecuación de equilibrio (presión en A + columna A = presión en B + columna B + manómetro) se simplifica a:

$10503 + 2133 = 7030.94 + 4146.49 + 3.048 \cdot \rho_B$

Donde $3.048$ es la diferencia de elevación o una altura efectiva.

• $\rho_B = 419.05 \text{ kg/m}^3$
• Densidad Relativa ($\rho_{\text{rel}}$): $\rho_{\text{rel}} = 419.05 / 1000 = 0.419$ (Adimensional)

Problema 6: Equilibrio de Pistones Hidráulicos

Cálculo de la fuerza ($F$) necesaria para mantener el equilibrio en un sistema de dos pistones conectados por aceite.

Datos

• Área Pistón 1 ($A_1$): $40 \text{ cm}^2$
• Área Pistón 2 ($A_2$): $400 \text{ cm}^2$
• Peso B: $4000 \text{ kg}$
• Densidad Relativa del Aceite ($\rho_{\text{rel}}$): $0.75$
• Altura de la columna de aceite: $5 \text{ m}$ (Asumido por el término $5$ en la ecuación)

Ecuación de Presión en el Punto "C"

La presión en el punto C debe ser igual a la presión ejercida por el pistón B más la columna de aceite, o igual a la presión ejercida por el pistón A más la columna de aceite (dependiendo de la configuración).

Presión en "C" (lado A) = Presión en "C" (lado B)

$(F / 40 \text{ cm}^2) + (0.75) \cdot (1000) \cdot (5) = 4000 \text{ kg} / 4000 \text{ cm}^2$ (Nota: $4000 \text{ cm}^2$ parece ser un error de transcripción, debería ser $400 \text{ cm}^2$)

Resolución

$(F / 40) + 3750 \text{ kg/m}^2 = 1 \text{ kg/cm}^2$

Convirtiendo unidades ($3750 \text{ kg/m}^2 = 0.375 \text{ kg/cm}^2$):

$(F / 40) = 1 \text{ kg/cm}^2 - 0.375 \text{ kg/cm}^2$

De aquí, $F = 25 \text{ kg}$ (Fuerza requerida).

Problema 7: Equilibrio de Presiones entre Aceite y Glicerina

Determinación de una altura desconocida ($x$) en un sistema de recipientes que contienen aceite y glicerina.

Datos de los Fluidos

• Aceite: $\rho_{\text{rel}} = 0.78$, $\gamma_{\text{aceite}} = 780 \text{ kg/m}^3$
• Glicerina: $\rho_{\text{rel}} = 1.25$, $\gamma_{\text{glicerina}} = 1250 \text{ kg/m}^3$
• Elevación lado A: $1.6 \text{ m}$
• Elevación lado B: $1.2 \text{ m}$
• Elevación de la glicerina: $21.1 \text{ m}$

Cálculo de Presiones en Puntos de Referencia (Pc y Pd)

Se asume que la figura muestra el tanque B y más arriba el tanque A del lado derecho, y se igualan las presiones en un punto de referencia común.

Presión en el punto C ($P_c$):

$P_c = (21.1 - 1.1) \cdot (1250) = 25000 \text{ kg/m}^2$

Presión en el punto D ($P_d$):

Se utiliza una densidad de $13570 \text{ kg/m}^3$ (Mercurio) en la primera parte del cálculo, lo cual sugiere un manómetro intermedio o un error de transcripción, pero se mantiene el cálculo original:

$P_d = (1.6 - 1.1) \cdot (13570) + (x - 1.6) \cdot (780)$

$P_d = 6785 + 780x - 1248$

Igualando Presiones ($P_c = P_d$)

$25000 = 5537 + 780x$

Despejando $x$:

$x = 24.95 \text{ m}$