Fundamentos y Metodología Didáctica de las Matemáticas en Educación Infantil

1. Fundamentos y metodología didáctica para la enseñanza de las matemáticas

El profesor de Educación Infantil es polivalente (resolutivo, se adapta a todo, llega a todos los alumnos). La enseñanza de Educación Infantil es globalizada e inclusiva. La enseñanza matemática es un aprendizaje específico.

Confusión entre enseñanza y aprendizaje: existe un paso entre lo que el profesor dice y lo que comprende el alumno, que está considerado como desdeñable.

Modelos

Empirismo

Empirismo: el alumno aprende lo que el profesor explica en clase. Enseñanza tradicional.

• Características: solo se aprende lo que dice el profesor. El maestro crea conocimientos, el alumno recibe contenidos, clases magistrales. Los alumnos no participan. Usa solo fichas y pizarra, nada manipulativo ni experiencia.
• Penalización del error: ni profesor ni alumno deben equivocarse (preguntas sencillas para que puedan contestar fácil y sin equivocarse).
• Información: se organiza adecuadamente para que responda bien y cuestiones sin salirse de la pauta.
• Enseñanza ideal: maestro y alumno sin error; si hay error, falla el sistema.
• Error: necesario en el proceso enseñanza-aprendizaje, aunque no en el empirismo.

Cognitivismo

El conocimiento matemático es una estructura que se forma con conceptos unidos entre sí por relaciones que llegan a configurar un todo organizado.

• Conocimiento: adquisición de relaciones.
• Aprendizaje: asimilación e integración.
• Asimilación: establecer relaciones entre informaciones nuevas.
• Integración: conexiones entre trozos de información que estaban aislados (se asimila e integra la información con conexiones cerebrales).

Aspectos que deben tenerse en cuenta:

• El aprendizaje significativo requiere tiempo.
• La capacidad y preparación de cada alumno.
• El juego es base del aprendizaje significativo.
• El profesor tiene que ver con los fracasos del alumno.

Aprenden poco a poco, las programaciones deben llegar a todos.

Constructivismo

Aprender matemáticas es construir matemáticas.

Hipótesis del modelo

1ª hipótesis: el aprendizaje se apoya en la acción. La acción no se limita a llevar a cabo manipulaciones con objetos tangibles, sino que abarca actividades de pensamiento. La acción = anticipar la acción concreta.

• Anticipación: una vez existan actividades con soporte de pista, el profesor propone cuestiones sin este soporte para favorecer la anticipación. La pista permite validar las respuestas de los alumnos.
• Manipulación: manipulación real para después ser evocaciones mentales del alumno. Los niños inician la construcción del conocimiento matemático con acciones realizadas sobre objetos tangibles y probarán la validez o invalidez de sus procedimientos (construcción de su propio pensamiento). En este nivel, los alumnos empiezan a anticipar resultados.

2ª hipótesis: la adquisición, organización e integración de conocimientos del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, donde los conocimientos anteriores se ponen en duda.

• Asimilación: adquisición de conocimientos.
• Acomodación: asentar conocimientos.

A través de respuestas se observa su proceso de aprendizaje cuando modifican acciones en momentos de desequilibrio cognitivo, que se da en el proceso de validación final.

Ejemplo: el docente da ejemplo de cada y los alumnos lo ven y deben saber cuál es la forma de poner gomets. Los alumnos deben ser nº gomets que necesitan y colocarlos bien. Después se comparan con el original para corregir errores de forma autónoma.

3ª hipótesis: se conoce en contra de conocimientos anteriores. Los aprendizajes previos de los alumnos se tienen en cuenta para construir nuevos. Aprendemos a partir de y en contra de lo que ya sabemos. Los nuevos conocimientos se consiguen modificando los precedentes (nuevos conocimientos modifican y amplían los anteriores).

4ª hipótesis: los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos.

• Vygotsky: psicología social.
• Interacción clásica (arriba-abajo) vs interacción horizontal.
• Conflictos sociocognitivos: desequilibrio interindividual y desequilibrio intraindividual.
• Profesor: actúa de mediador del conflicto sociocognitivo.
• Trabajo en grupo: beneficioso si los grupos se han creado con criterios que permiten conflicto cooperativo.
• Variante: tiempo corto produce poca interacción, pero las tareas no deben ser largas.
• Solución: tareas retomadas de forma sistemática.

Hipótesis que permiten:

• Elaborar estrategias para hacerlas funcionar, adaptarlas o modificarlas.
• Automatizar estrategias o procedimientos que sean usados con más frecuencia.
• Ejercer control sobre resultados porque son validados por ellos mismos.
• Construir con sentido el conocimiento matemático.

2. Lógica

Razonamiento con criterio. Disciplina matemática cuyo objetivo es el estudio de tipos de argumentos lógicos y su validez.

Lógica: parte del sistema cognitivo. Necesaria para el aprendizaje matemático.

Características del pensamiento lógico

• Egocentrismo: incapacidad para ponerse en lugar de otro. Base del realismo infantil, no comprende la relatividad de las cuestiones.
• Falta de introspección: falta de conciencia que tienen los niños sobre su propio pensamiento (imposibilidad de expresar cómo resuelve un problema).
• Transducción: modo de razonamiento que procede de lo particular a lo particular sin rigor lógico (cada uno lo interpreta como quiere).

Dos tipos de pensamiento lógico

• Deducción: de lo general a lo particular (todas las pollas son amarillas, por lo que mi polla será amarilla).
• Inducción: de lo particular a lo general (pollo 1 amarillo, pollo 2 amarillo... todas las pollas amarillas).

Contenidos matemáticos que desarrollan habilidades lógico-matemáticas en Educación Infantil

• Identificar, reconocer y/o definir cualidades sensoriales (cualidades sensoriales y atributos; agrupar objetos según una o varias cualidades sensoriales comunes).
• Relacionar cualidades sensoriales (clasificar, seriaciones, ordenaciones, emparejamiento).

Procesos de contracción y decantación

Contracción: acción y efecto que muestra la capacidad del alumno para centrarse en una sola característica o atributo de un objeto (centrarse en algo concreto).

Ejemplo: actividad contracción: el profesor saca figuras y pide pieza cuadrada, coger solo cuadrada, o color azul o grande.

• 1º Reconocimiento del atributo (busca objeto que sea del mismo que este).
• 2º Negación del atributo (busca objeto que no sea del mismo que este).
• 3º Asociar un objeto con nombre del atributo (¿cuál es y por qué? busca objeto y por qué?).
• 4º Nombrar atributo (¿de qué... es este?).
• 5º Reconocimiento de 2º + atributos (busca objeto rojo y cuadrado).

Decantación: acción y efecto que muestra la capacidad del alumno para seleccionar entre una colección de objetos aquellos que posean una determinada característica (grupo de objetos diferentes pero con alguno en común).

Ejemplo: actividad decantación: juego pieza escondida. Cada alumno tiene un juego completo de bloques lógicos; el profesor esconde una pieza en un sitio y los alumnos deben adivinar la pieza con preguntas que se contestan con sí o no (¿es roja? solo 1 atributo). Si no es roja, eliminan piezas rojas (quién es quién).

• 1º Dada una colección de objetos, formar agrupamientos de los que tienen el mismo atributo (todos juntos los que tienen...).
• 2º Encontrar atributo común de una colección de objetos (¿cómo son estos objetos?).

Clasificación, seriación y ordenación

Clasificación: clasificar es un instrumento intelectual que permite al individuo organizar mentalmente el mundo que le rodea. Implica selección y agrupación de objetos en clases de acuerdo a una regla o principio.

• Clasificar: abstraer de objetos determinados atributos esenciales que los definen.
• Clasificación: agrupación lógica y sencilla.

La clase no se construye por percepciones sino por abstracciones, generalizaciones y operaciones lógicas de composición y reversibilidad (ya se deben haber familiarizado previamente con ellas).

Reversibilidad: volver a poner objetos como al inicio.

Clasificaciones a partir de uno o varios criterios cualitativos:

• Clasificar: agrupar objetos de una colección en agrupaciones o clases disjuntas, de modo que todos los objetos de una misma clase cumplan el mismo criterio, y que un objeto no pueda estar a la vez en 2 clases distintas (todos los objetos cumplen mismo criterio, pero no puede estar un objeto en 2 sitios a la vez).

Se pueden hacer clasificaciones atendiendo a 2 o más cualidades (múltiples o multiplicativas, con tabla de doble entrada: cualidad en filas y atributos en columnas).

Actividades de clasificación son:

• 1º Dada una colección de objetos, se clasifican según un criterio.
• 2º Dada una colección de objetos clasificada, averiguar el criterio de clasificación.
• 3º Dada una colección de objetos, clasificarlos según 2 o más criterios.
• 4º Dada una colección de objetos clasificada según 2 o más criterios, averiguar los criterios de clasificación.

Seriaciones

Serie: conjunto ordenado de objetos según un criterio.

Clasificación: se agrupan objetos en clases en función de semejanzas, VS seriación que compara objetos y los ordena (secuencia) en función de diferencias.

Construcción de series:

• Reversibilidad: ordenar en dos direcciones.
• Transitividad: capacidad de admitir que si A es anterior a B, B es anterior a C, entonces A es anterior a C.
• Asignación de carácter dual: todo elemento de la serie es a la vez sucesor del anterior y antecesor del siguiente.
• Asimetría: capacidad para asignar a todo par de elementos de la serie una relación asimétrica. Si A es anterior a B, B no es anterior a A.

Seriaciones a partir de un criterio cualitativo o patrón:

• Seriación: conjunto ordenado de objetos según criterio o patrón.
• Ordenar: actividad distinta de seriar. Para ordenar es necesario que exista una cualidad sensorial medible (magnitud) y fijar criterio cuantitativo de ordenación (creciente o decreciente). Ordenar con criterio cualitativo no es seriar.

Actividades de seriación:

• 1º Reproducir una serie que sea modelo.
• 2º Continuar serie explicitando o no el criterio de seriación (sigue serie dando criterio o sigue serie sin dar criterio).
• 3º Completar serie indicando objeto que falta (roja azul roja... roja).

Ordenaciones a partir de un criterio cuantitativo: algunas cualidades sensoriales tienen una particularidad, es posible cuantificar con un número (medir) la cantidad de dicha cualidad que posee una determinada colección. Una cualidad sensorial es una magnitud.

ORDENACIÓN: colocar de forma creciente o decreciente objetos según su cantidad de magnitud.

Actividades de ORDENACIÓN:

• 1º Dada una colección de objetos, ordenarla creciente o decreciente según una magnitud. Ejemplo: de mayor a menor tamaño los círculos rojos.
• 2º Dada una colección de objetos ordenada, verbalizar criterio de ordenación. Ejemplo: cómo están ordenados los berros según magnitud (+ a - largura).
• 3º Completar colecciones ordenadas de objetos o incorporar nuevos objetos a la colección siguiendo orden (Ejemplo: completar barras Montessori que falta, huecos 1..3…5. NO hacen referencia a magnitud, no vale).
• 4º Identificar objeto anterior y posterior a uno dado, alumno debe verbalizar razones de elección.

Emparejamientos: dadas 2 colecciones de objetos diferentes y del mismo cardinal, establecer relación objeto a objeto entre las 2 colecciones aplicando un criterio.

Actividades emparejamiento:

• 1º 2 colecciones con mismo nº elementos, emparejar objetos que estén relacionados con determinada cualidad sensorial o magnitud (Ejemplo: unir pelota con futbolista, libro biblioteca).
• 2º Identificar criterio que se ha seguido para efectuar determinado emparejamiento (Ejemplo: ¿cómo lo emes clasificado?).

Habilidades lógico-matemáticas:

• Identificar: reconocer y/o definir cualidades sensoriales.
• Relacionar cualidades sensoriales.
• Procesos contracción y decantación: Contracción: capacidad aumentar para distinguir entre una sola característica de un objeto. Decantación: acción y efecto del alumno para seleccionar entre una colección de objetos que tengan una determinada característica.
• Clasificar, seriación y ordenación: Clasificar: agrupar todos los objetos de una colección de modo que todos los objetos de una misma clase no puedan estar a la vez en 2 clases distintas. Seriación: conjunto ordenado según un criterio. Transitividad: capacidad para admitir que si A es anterior a B, B es anterior a C. Asignación de carácter dual: todo elemento de la serie es a la vez sucesor del anterior y antecesor del siguiente. Asimetría: capacidad de asignar todo par de elementos (si A anterior a B, B no es anterior a A). Ordenación: acción de ordenar de menor a mayor y de mayor a menor objetos según su magnitud (tamaño, ordenar por criterio ordenado, completar colecciones ordenadas, identificar objeto anterior y posterior a uno dado...). Emparejamientos: dadas 2 colecciones de objetos diferentes y del mismo cardinal (mismo nº objetos) entre las 2 colecciones aplicando un criterio preestablecido.

3. Magnitud

Magnitud: características o cualidades de objetos que pueden ser cuantificables, se pueden medir.

Técnica de medir: técnica que permite adjudicar un nº.

Cantidad de magnitud: grado o intensidad con la que magnitud se encuentra en un objeto (Ejemplo: vaso agua qué magnitud puede tener, también es volumen).

Comparación de cantidades de magnitud

Para establecer procesos de medida es necesario distinguir diferentes magnitudes y comparar cantidades de misma magnitud que tienen diferentes objetos (Ejemplo: segmentos (magnitud-longitud)).

Procesos de medida: acciones necesarias para hacer comparaciones según diferentes magnitudes son:

• Longitud: superponer (1 lápiz detrás de otro).
• Área: cortar y superponer.
• Volumen: cortan en pedazos y rellenan el otro elemento.
• Capacidad: rellenar recipiente y trasvasarlo al otro.
• Masa: si al sostenerlo tenemos que realizar fuerza.
• Tiempo: se inician a la vez y se acaba después el otro.
• Valor económico: si trueque necesita de más mercancía.

Técnicas directas de medir: asociadas a distintas magnitudes son tan diferentes unas de otras que es difícil hablar de una técnica general de medida.

Descripción general de la técnica: dado objeto físico o teórico:

1. Se elige magnitud a medir, identificar magnitud a trabajar y eliminar atributos irrelevantes (usar ideas de conservación).
2. Se elige o construye otro objeto que contenga una cantidad de magnitud a medir considerado como unidad.
3. Se compara visual o con instrumento contando cuántas unidades son necesarias para obtener cantidad de magnitud dada, se transporta unidad y se cuentan transportes.
4. Realización de medida tanto si cantidad de magnitud a medir equivale a un nº exacto de unidades como si no, pero el error que se comete es despreciable. Se presenta como resultado de la medida si nº natural obtenido acompañado de referencia a unidad de medida utilizada.
5. Decisión grado precisión de medida: si error cometido no puede despreciarse se subdivide unidad en partes iguales y se repite proceso con 1 de estas partes como nueva unidad para obtener un resultado más preciso (aprendizaje constructivista: ellos resuelven problema por ensayo-error).

Técnicas de medir: exigen 'sumabilidad' de cantidades de magnitud sin la cual proceso no sería posible (objeto A (caja) - medida a (lápices); objeto B (c) - medida b (l); A+B=a+b). Este modo de juntar objetos permite que medida de cantidad de magnitud del nuevo objeto sea suma de medidas de las cantidades de magnitud de objetos componentes.

Aprendizaje de magnitud longitud

Conservación de distancia y su relación con conservación de longitud: Longitud entre 2 objetos es su distancia. Noción de distancia es importante para comprensión de la medida de longitudes y para construcción del espacio. Representación de distancia está ligada a representación de la línea recta.

Sistemas métricos: existen métodos indirectos para medir medidas que tienen métodos directos (Ejemplo: nº veces kb 1 cuadrado unidad (unidad de longitud) dentro de 1 rectángulo. Después multiplicar valores).

Sistema métrico decimal: inicio obstáculos y aún no está consolidado en todo el mundo ni Europa. SMD define unidades para medida longitudes, áreas, volúmenes, capacidades y masas, también conjunto de múltiplos y submúltiplos de dichas unidades, resultado de multiplicarlas o dividirlas por distintas potencias de 10.

• Longitud: unidad de medida metro (m).
• Área: un metro cuadrado (m²).
• Volumen: un metro cúbico (m³).
• Capacidad: un litro (l).
• Masa: un kilogramo (kg).

Nociones de medida de magnitud longitud y nociones de magnitudes peso y capacidad

Es común atribuir a objetos determinadas características, propiedades o cualidades. Algunos pueden ser sometidos a un proceso de medida (esa cualidad es una magnitud) y se puede asignar un nº medida a cada cantidad de esa magnitud.

Noción de nociones de magnitud, cantidad de magnitud y medida, sea cual sea el nivel educativo, debe comprender siguientes situaciones:

• Situaciones de identificación de la magnitud: reconocimiento y conservación de la magnitud.
• Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios: con estimaciones visuales o por desplazamiento de objetos.
• Situaciones de comparación de cantidades de magnitud con objetos intermedios: usando como instrumento el propio cuerpo o un 3º objeto, se hace operativa la propiedad transitiva de cantidades de la magnitud.
• Situaciones de ordenación de cantidades de magnitud: cuando intervienen 3º o más cantidades.
• Situaciones de medida con unidades antropométricas o arbitrarias:
• Situaciones de cálculo: de transporte, reiteración y recuento de la unidad sobre la cantidad a medir da lugar al nº-medida que indica la medida.
• Situaciones de construcción: se conoce el nº-medida y hay que construir un objeto que posea la cantidad de magnitud que indica ese objeto.
• Situaciones de medida con unidades del SMD: situaciones de cálculo y de construcción.
• Situaciones para determinar el grado de precisión de la medida: cambios de unidades, relaciones entre nº-medida y unidad de medida usada.

Además en todas las situaciones de enseñanza se recomienda que alumnos verbalicen las acciones de medida que realicen y que amplíen vocabulario relacionado con magnitud.

Enseñanza de magnitud tiempo

La comprensión del tiempo se apoya en 2 competencias importantes: estimación de duración de intervalos temporales o sucesos y ordenación de acontecimientos temporales.

• Situaciones de comparación directa de cantidades de magnitud sin objetos intermedios.
• Situaciones de comparación cantidades magnitud con objetos intermedios (relojes).
• Situaciones de ordenación de cantidades de magnitud cuando intervienen 3 o más cantidades.
• Situaciones de medida con unidades legales (segundo, minuto y hora).
• Situaciones de cálculo: el transporte, reiteración y recuento de unidad de duración al suceso a medir da lugar al nº-medida que indica la medida.
• Situaciones de construcción: se conoce nº-medida y hay que construir un suceso que posea la cantidad de magnitud que indica ese nº.

Además en todas situaciones de enseñanza se recomienda verbalizar acciones realizadas para ampliar vocabulario relacionado con magnitud.

Ordenación de acontecimientos temporales

Secuenciación: diferentes actividades que se desarrollan de manera sistemática en jornada escolar para preguntar qué hacemos ahora, y antes y después. Repasar horario escolar y establecer secuencia mental de diferentes actividades que alumno realizan, afianzan conceptos antes, ahora y después. Ordenar acontecimientos temporales conocidos por alumno diferenciando acciones pasadas, presentes y futuras.

Viñetas o tarjetas alusivas al desarrollo de alguna acción y deben ordenarla siguiendo pauta temporal. Secuencias pueden tener un número entre 2-6 viñetas. Se le dice que clasifique diferentes viñetas según 2 secuencias temporales diferentes, ordene viñetas y justifique ordenación, dibuje viñeta inicial y otra final.

Establecimiento de un orden lógico temporal entre 1 serie de imágenes que constituyen 1 acción conocida por alumno, en orden progresivo como regresivo. Niños realizan inferencias a partir de las imágenes e intuir acción previa y posterior a trabajada mediante dibujo de 1 viñeta y otra final para añadir a 1 de secuencias ordenadas (progresivo o regresivo). Verbalización criterio seguido para ordenar implica afianzamiento de conceptos pasado presente futuro en parámetros comprensibles para alumnos EI.

Estado transformación estado (ETE)

Juan le gusta jugar a cartas, tiene 4. ¿Cuántos tendrá que ganar si quiere tener 10?

ETE con incógnita en transformación de aumento. Transformación A. Ei: 4 - T? - Ef: 10 (4+?=10).

Ramiro tenía 4 cosas, si su familia le regaló otras 7, ¿cuántas tiene ahora?

ETE con incógnita en estado final y con transformación de aumento. Transformación A. Ei: 4 - T: 7 - Ef? (4+7=?).

Carmen tenía 12 pegatinas, le dio algunas a Inés y ahora tiene 5. ¿Cuántas pegatinas dio Carmen a Inés?

ETE con incógnita en transformación de disminución. Transformación D. Ei: 12 – T? - Ef: 5 (12-¿=5).

Robert tiene 11 euros, gasta 3, ¿cuántos le quedan?

ETE con incógnita en estado final y con transformación de disminución. Transformación D. Ei: 11 - T: -3 - Ef: ? (11-3=?).

Unas personas están en un autobús, se bajan 5 y quedan 3, ¿cuántas iban al inicio?

ETE con incógnita en estado inicial y con transformación de disminución. Transformación D. Ei: ? – T: -5 – Ef: 3. (¿-5=3).

Estado Estado Estado (EEE)

Juan tiene 3 coches grandes y 4 pequeños, ¿cuántos en total?

EEE con incógnita en estado total. Estado. Ep1: 3 Ep2: 4 - Et? (3+4=7).

Tienes 9 fichas, 5 blancas y el resto negras. ¿Cuántas negras?

EEE con incógnita en estado parcial. Estado. Ep1: 5 Ep2: ¿ - Et: 9 (5+?=9).

Estado Comparación Estado (ECE)

Carolina tiene 6 lápices, su amiga Laura tiene 2 lápices menos que Carolina. ¿Cuántos tiene Laura?

ECE con incógnita en estado comparado y con comparación menor que. Comparación. E1: 6 – C: -2 – E2? (6-2=?)

Ana tiene 7 fichas, si Ana tiene 4 fichas más que Bea, ¿cuántas tiene Bea?

ECE con incógnita en estado de referencia y con comparación mayor que. Comparación. E1: ? – C: +4 – E2: 7 (¿+4=7).

Aquí tienes 9 fichas azules y 5 rojas, ¿cuántas fichas azules hay que fichas rojas?

ECE con incógnita en comparación de tipo mayor que. Comparación. E1: 5 – C? – E2: 9. (5+?=9).

Transformación: mide aumento o disminución que sufre 1 cantidad inicial en el lapso de tiempo.

Comparación: expresa la comparación mayor que o menor que entre 2 cantidades.

Estado: es cantidad que no transforma ni compara cantidades.

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