Fundamentos del Modelo de Regresión Lineal Múltiple: Ecuación, Supuestos e Interpretación

Fundamentos del Modelo de Regresión Lineal Múltiple

Definición

Un modelo de **regresión lineal múltiple** es un modelo estadístico que describe la relación entre una **variable dependiente** y varias **variables independientes**. Su ecuación general es:

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon$$

Donde:

• $Y$: Es la variable dependiente.
• $X_1, X_2, \dots, X_k$: Son las variables independientes (o predictoras).
• $\beta_0$: Es el intercepto (el valor esperado de $Y$ cuando todas las $X_i$ son cero).
• $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_k$: Son los **coeficientes de regresión** asociados a cada variable independiente.
• $\epsilon$: Es el término de error aleatorio (o residuo).

Supuestos Clave del Modelo

Para que las estimaciones de los coeficientes sean válidas y eficientes, el modelo debe cumplir con ciertos supuestos fundamentales:

1. Linealidad

La relación entre la variable dependiente y las variables independientes es lineal. Esto significa que el cambio en la variable dependiente es proporcional al cambio en las variables independientes.

2. Independencia de los Errores

Los errores ($\epsilon$) son independientes entre sí. Esto implica que no hay correlación entre los errores de las observaciones (ausencia de **autocorrelación**).

3. Homoscedasticidad

La varianza de los errores es constante a lo largo de todas las observaciones. Es decir, la dispersión de los errores no depende de los valores de las variables independientes.

4. No Multicolinealidad

No debe haber una correlación perfecta o casi perfecta entre las variables independientes. La presencia de **multicolinealidad** puede dificultar la estimación precisa de los coeficientes de regresión.

Interpretación de Coeficientes

La interpretación de los coeficientes es crucial para entender el impacto de cada predictor:

Si en un modelo de regresión lineal múltiple el coeficiente de regresión de una variable independiente ($\beta_i$) es 0.5, se interpreta de la siguiente manera: Manteniendo constantes todas las demás variables independientes (ceteris paribus), un aumento de una unidad en esta variable independiente está asociado con un aumento de 0.5 unidades en la variable dependiente.

Métricas de Bondad de Ajuste

R Cuadrado Ajustado ($\text{R}^2_{ ext{ajustado}}$)

El $\text{R}^2$ ajustado se prefiere sobre el $\text{R}^2$ simple porque ajusta el valor de $\text{R}^2$ simple según el número de variables independientes en el modelo.

• Mientras que $\text{R}^2$ simple puede aumentar simplemente al añadir más variables independientes al modelo, el $\text{R}^2$ ajustado solo aumenta si las nuevas variables mejoran significativamente la capacidad predictiva del modelo.
• Por lo tanto, proporciona una medida más precisa de la bondad de ajuste del modelo, especialmente cuando se compara entre modelos con diferentes números de variables independientes.

Problema de Multicolinealidad

La **multicolinealidad** se refiere a una situación en la cual dos o más variables independientes en un modelo de regresión lineal múltiple están altamente correlacionadas.

Consecuencias y Soluciones

Esto puede causar problemas en la estimación de los coeficientes de regresión, haciendo que sean inestables y difíciles de interpretar.

Una técnica para abordar la multicolinealidad es utilizar la regresión ridge (o regresión de cresta), que introduce una penalización a los coeficientes de regresión para reducir la varianza de las estimaciones.