Fundamentos de los Números: Cardinales, Ordinales y Sistemas de Numeración

Concepto de Número

Números Naturales y Axiomas de Peano

El conjunto de los números naturales, denotado por $\mathbb{N}$, se define a través de cinco condiciones fundamentales conocidas como los axiomas de Peano:

1. El 0 es un número natural.
2. Para todo número natural $n$, existe un único número natural siguiente, denotado como $s(n)$.
3. El 0 no es el siguiente de ningún número natural.
4. Si dos números naturales tienen el mismo siguiente, entonces esos números son idénticos.

Operaciones Cardinales

Las operaciones cardinales se refieren a la cantidad de elementos en un conjunto.

• Adición: Si $a$ es la cardinalidad de un conjunto $A$ (denotado como $a = \text{card}(A)$) y $b$ es la cardinalidad de un conjunto $B$ (denotado como $b = \text{card}(B)$), entonces la suma $a+b$ es la cardinalidad de la unión de $A$ y $B$ ($a+b = \text{card}(A \cup B)$).
  Ejemplo: Para $3+2$, si $A = \{x, y, z\}$ (cardinalidad 3) y $B = \{m, n\}$ (cardinalidad 2), entonces $A \cup B = \{x, y, z, m, n\}$. La cardinalidad de la unión es 5, por lo tanto, $3+2=5$.
  Implicación didáctica: Sumar es reunir conjuntos y luego volver a contar sus elementos.
  Inconveniente: La operación se realiza con conjuntos.
• Multiplicación: Si $a$ es la cardinalidad de un conjunto $A$ y $b$ es la cardinalidad de un conjunto $B$, entonces el producto $a \times b$ es la cardinalidad del producto cartesiano de $A$ y $B$ ($a \times b = \text{card}(A \times B)$).
  Ejemplo: Para $3 \times 2$, si $A = \{x, y, z\}$ (cardinalidad 3) y $B = \{m, n\}$ (cardinalidad 2), entonces $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(u, v)$ donde $u \in A$ y $v \in B$. El número de estos pares es $3 \times 2 = 6$.
  Implicaciones didácticas: No es intuitiva.
  Inconvenientes: La operación se realiza con conjuntos.

Operaciones Ordinales

Las operaciones ordinales se refieren a la posición o orden de los elementos.

• Adición:
  
  • $n + 0 = n$
  • $n + 1 = s(n)$ (el siguiente de $n$)
  • $n + 2 = s(s(n))$
  • ...
  • $n + m = n + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{m \text{ veces}}$
  Implicaciones didácticas: Sumar es seguir contando o contar a partir de un número.
  Ejemplo: $3 + 4$. A partir de 3, contar cuatro números más: 4, 5, 6, 7. El resultado es 7.
• Multiplicación:
  
  • $0 \times n = 0$
  • $1 \times n = n$
  • $m \times n = \underbrace{n + n + \dots + n}_{m \text{ veces}}$
  Implicaciones didácticas: Es sumar consigo mismo o contar en saltos hacia adelante.
  Ejemplo: $3 \times 2$. Realizar 3 saltos de 2 números: $0 \to 2 \to 4 \to 6$. El resultado es 6.

Características de los Sistemas de Numeración

Sistema de Numeración Oral

Posteriormente, los sonidos (palabras) sustituyeron a las imágenes en la representación de conceptos numéricos. Es más fácil dar un nombre a un conjunto que hacer muecas en un palo para expresarlo. Esto requiere el acuerdo entre los comunicadores sobre cómo referirse a los números. Así surgieron nombres para cantidades específicas (ej. nariz para 1, ojos para 2, trébol para 3, mano para 5). En otro momento, los números se identificaron con partes del cuerpo, lo que llevó a la ordenación de aquellos, incluyendo el carácter ordinal del concepto de número.

Sistema de Numeración Escrita

Se produjo la invención de signos gráficos para la representación de números. La escritura de números se facilitó con la relación de la escritura en Asia suroccidental hace más de 5000 años. Varias civilizaciones necesitaban obtener recuentos y balances de los intercambios comerciales.

Sistema Cuneiforme (Sumerio/Babilónico)

• 1: $\blacktriangledown$ (cono)
• 10: $\blacklozenge$ (bola)
• 60: $\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown$ (cono grande)
• 600: $\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown$ perforado
• 3600: $\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge$ (esfera)
• 36000: $\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge$ perforada

Los objetos pasaban a ser luego incisiones en tablillas de arcilla.

Sistema Elamita

• 1: $\vert$ (palito)
• 10: $\bullet$ (bola)
• 100: $\circ$ (disco)
• 300: $\blacktriangledown$ (cono)
• 3000: $\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown\blacktriangledown$ (cono grande perforado)

Los objetos pasaron luego a ser incisiones en tablillas de arcilla.

Símbolos, Agrupamientos y Base en un Sistema de Numeración

Los métodos anteriormente nombrados resultan insuficientes para expresar números grandes. Para estos números, necesitamos un método que, con una cantidad pequeña de símbolos, nos permita representar todos los números. Esto nos lo proporciona la invención de un sistema de numeración, que podemos definir como un método cuya finalidad inicial es asignar un nombre y una representación escrita a cada número. Por tanto, un sistema de numeración tiene dos elementos: los símbolos y las reglas.

Históricamente, todos los sistemas de numeración han empleado un convenio básico que llamamos agrupamiento. Con este convenio, las expresiones de los números se hacen más cómodas, como por ejemplo, el número 14: $\text{VIIII}$. La adopción de este convenio da lugar a lo que llamamos la base del sistema de numeración.

Agrupamiento Multiplicativo

En este sistema, los símbolos representan cantidades y su valor puede multiplicarse por la repetición o por la posición.

• Ejemplo 194: $\text{WNNVVVIIII}$
• Símbolos: $\text{W}$ (circulo con puntito), $\text{N}$ (circulo con 2 puntitos), $\text{V}$ (circulo con 3 puntitos), $\text{I}$ (circulo con 4 puntitos). El número de puntitos indica las veces que se repite la cifra base.
• Los símbolos marcan la base, es decir: $\text{W} = 5^3 = 125$; $\text{N} = 5^2 = 25$.
• Como convenios, nombrar el agrupamiento y el valor multiplicativo del sistema.
• Ejemplo 527: $\text{W}$ (circulo con 4 puntitos), $\text{N}$ (circulo con 1 puntito), $\text{I}$ (circulo 2 puntitos).

Agrupamiento Posicional

En este sistema, el valor de un símbolo depende de su posición. De izquierda a derecha, para representar 195:

• Primera posición: $\text{W}$ (representa $5^3 = 125$) $\times 1 = 125$.
• Segunda posición: $\text{N}$ (representa $5^2 = 25$) $\times 2 = 50$.
• Tercera posición: $\text{V}$ (representa $5^1 = 5$) $\times 4 = 20$.
• Suma: $125 + 50 + 20 = 195$.

En este agrupamiento, se eliminan las letras y solo se dejan los círculos con los puntitos correspondientes en su posición. Los símbolos son multiplicadores y se da la existencia del cero. Como convenios, se da un agrupamiento y un valor posicional.