Fundamentos de los Números Enteros: Multiplicación, Adición y Estructuras Algebraicas

Definición Formal de la Multiplicación en los Números Enteros

La multiplicación en el conjunto de los números enteros, denotada por (⋅): Z × Z → Z, se define formalmente para abordar todas las combinaciones posibles de signos, a diferencia de la definición intuitiva que conocemos. Por ejemplo, (+3) ⋅ (+2) o (+3) ⋅ (-2).

La definición formal de la multiplicación para números enteros, representados como clases de equivalencia de pares ordenados [(a,b)] de números naturales, es la siguiente:

(⋅): Z × Z → Z

([(a,b)], [(c,d)]) ↦ [(ac + bd, ad + bc)]

Aplicando esta definición, podemos verificar la multiplicación de enteros positivos:

• Ejemplo: (3,0) ⋅ (2,0) = (3⋅2 + 0⋅0, 3⋅0 + 2⋅0) = (6,0). Esto corresponde a (+3) ⋅ (+2) = +6.

Reglas de los Signos en la Multiplicación

Al realizar estas operaciones, es fundamental recordar las reglas de los signos:

• (+) ⋅ (+) = +
• (+) ⋅ (-) = -
• (-) ⋅ (+) = -
• (-) ⋅ (-) = +

Estas reglas se cumplen en todos los casos, como se puede comprobar con las siguientes expresiones utilizando representantes canónicos de las clases de equivalencia:

• [(a,0)] ⋅ [(b,0)] = [(a⋅b,0)] (resultado entero positivo)
• [(a,0)] ⋅ [(0,b)] = [(0,a⋅b)] (resultado entero negativo)
• [(0,a)] ⋅ [(b,0)] = [(0,a⋅b)] (resultado entero negativo)
• [(0,a)] ⋅ [(0,b)] = [(a⋅b,0)] (resultado entero positivo)

Propiedades y Estructura Algebraica de (Z, ⋅)

La operación de multiplicación en los números enteros cumple con las siguientes propiedades:

• Propiedad Asociativa: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)
• Propiedad Conmutativa: x ⋅ y = y ⋅ x
• Elemento Neutro: Existe un elemento neutro, +1, representado por [(1,0)], tal que x ⋅ 1 = x.
• Propiedad Distributiva: Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición: x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z).

El conjunto de los números enteros con la operación de multiplicación, (Z, ⋅), es un semigrupo abeliano unitario. Además, al considerar la adición y la multiplicación conjuntamente, el conjunto (Z, +, ⋅) forma un anillo conmutativo unitario.

Definición Formal de la Adición en los Números Enteros

La adición en los números enteros, denotada por (+): Z × Z → Z, se define de manera formal para manejar todas las combinaciones de signos. Intuitivamente, conocemos la adición genérica, pero la definición formal nos permite operar con la representación de los enteros como pares ordenados.

Para realizar la adición formal, transformamos cada número entero en un par ordenado que lo representa. Por ejemplo, +3 se representa como (3,0), +2 como (2,0), y -2 como (0,2). Así, operaciones como (+3) + (+2) o (+3) + (-2) se convierten en (3,0) + (2,0) y (3,0) + (0,2) respectivamente.

La aplicación que define la adición para números enteros es:

(+): Z × Z → Z

([(a,b)], [(c,d)]) ↦ [(a+c, b+d)]

Sumando componente a componente, obtenemos los resultados:

• Ejemplo 1: (3,0) + (2,0) = (5,0). Por lo tanto, (+3) + (+2) = +5.
• Ejemplo 2: (3,0) + (0,2) = (3,2). Por lo tanto, (+3) + (-2) = +1.

Propiedades y Estructura Algebraica de (Z, +)

La adición de números enteros cumple con las siguientes propiedades:

• Propiedad Asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)
• Propiedad Conmutativa: x + y = y + x
• Elemento Neutro: Existe un elemento neutro, 0, representado por [(0,0)], tal que x + 0 = x.
• Elemento Simétrico (Opuesto): Para cada entero x, existe un elemento simétrico -x tal que x + (-x) = 0.

La estructura que tiene el conjunto (Z, +) es la de un grupo abeliano. Como se mencionó anteriormente, el conjunto (Z, +, ⋅) es un anillo conmutativo unitario.

Operaciones con Pares de Puntos Representando Números Enteros

Consideremos los pares de puntos (1,5) y (7,3), que representan dos números enteros. Primero, determinemos los enteros correspondientes a cada par:

• Para (1,5): Como b > a (5 > 1), el entero m1 es -(b-a) = -(5-1) = -4.
• Para (7,3): Como a > b (7 > 3), el entero m2 es +(a-b) = +(7-3) = +4.

a) Suma de los Pares de Puntos

Utilizando la definición formal de la adición (+): Z × Z → Z; ([(a,b)], [(c,d)]) ↦ [(a+c, b+d)]:

(1,5) + (7,3) = (1+7, 5+3) = (8,8)

El par (8,8) representa el entero 0 (ya que a=b).

Verificando con los números enteros correspondientes:

(-4) + (+4) = 0

El resultado es consistente.

b) Multiplicación de los Pares de Puntos

Utilizando la definición formal de la multiplicación (⋅): Z × Z → Z; ([(a,b)], [(c,d)]) ↦ [(ac+bd, ad+bc)]:

(1,5) ⋅ (7,3) = (1⋅7 + 5⋅3, 1⋅3 + 5⋅7)

= (7 + 15, 3 + 35)

= (22,38)

Para convertir el par (22,38) a un número entero: como b > a (38 > 22), el entero m es -(b-a) = -(38-22) = -16.

Verificando con los números enteros correspondientes:

(-4) ⋅ (+4) = -16

El resultado es consistente.

Conversión de Pares Ordenados a Números Enteros

Para convertir una simbología formada por un par de números entre corchetes [(a,b)] (que representa una clase de equivalencia) en un único número entero con signo (+/-) o sin signo (0), se utiliza la siguiente regla, donde (a,b) es un par de números naturales (a,b) ∈ N × N:

El número entero m que corresponde a la clase de equivalencia de (a,b) se define como:

• Si a = b, entonces m = 0.
  • Ejemplo: (0,0) representa 0.
• Si a > b, entonces m = +(a-b).
  • Ejemplo: (2,0) representa +(2-0) = 2.
• Si b > a, entonces m = -(b-a).
  • Ejemplo: (0,3) representa -(3-0) = -3.

Los representantes canónicos de las clases de los números enteros 0, 2 y 3 son, respectivamente, (0,0), (2,0) y (3,0).