Fundamentos de los Números Naturales: Concepciones Cardinal y Axiomática de Peano

Fundamentos de los Números Naturales

Concepción Cardinal del Número Natural

Vamos a definir el conjunto de los números naturales partiendo de las colecciones de objetos y de la relación de coordinabilidad entre conjuntos. Seguiremos un proceso de modelización matemática denominado “teoría de clases”, basado en la partición de un conjunto inicial, donde se ha definido una relación de equivalencia, en diferentes partes o clases de equivalencia. Esta concepción ha sido validada por matemáticos tales como Cantor, Frege, Russell.

Relación de Coordinabilidad (Equipotencia)

Dados dos conjuntos A y B, diremos que son coordinables o equipotentes si se puede establecer entre ellos una aplicación biyectiva. Así, por ejemplo, establecemos aplicaciones biyectivas cuando asociamos a cada taza su cucharilla, a cada comensal su vaso, a cada espectador su butaca, etc. Por lo tanto, la relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia.

Definición de Número Natural

Se define el conjunto ℕ de los números naturales como el conjunto de todas y cada una de las clases de equivalencia obtenidas en F a partir de la relación de coordinabilidad (∼). Así, podemos identificar el conjunto de los números naturales ℕ con el conjunto de clases: [ F /∼]

Concepción Axiomática de Peano

Dedekind y Peano construyeron a finales del s. XIX una teoría axiomática del conjunto de los números naturales ℕ, enunciando los siguientes principios:

1. El cero es un número natural: 0 Î ℕ
2. Todo número natural a tiene un sucesor: (sucesor a) = a + 1 " a Î ℕ à (sucesor de a) Î ℕ
3. Dos números naturales que tienen el mismo sucesor son iguales: si (sucesor de a) = (sucesor de b) à a = b
4. El cero no es sucesor de ningún número natural. Que también podríamos enunciar diciendo que todo número natural es sucesor de algún otro número natural, excepto el cero.