Fundamentos de los Números Ordinales: Definición y Propiedades Matemáticas

¿Qué son los Números Ordinales?

El concepto de ordinal nace de la necesidad de ordenar conjuntos y responde a la pregunta: ¿Qué posición le corresponde al elemento a del conjunto A? La respuesta dependerá de la relación de orden, parcial o total, que se defina en dicho conjunto.

Construcción Matemática

Desde el punto de vista matemático, los números ordinales se construyen partiendo de la identificación 0 = ∅ y utilizando el operador siguiente x' = x ∪ {x}. Se definen mediante las siguientes condiciones:

• 0 es un ordinal.
• Todo ordinal n tiene un siguiente n'.
• 0 no es el siguiente de ningún ordinal.
• Cualesquiera que sean los ordinales m y n, si coinciden sus siguientes, también coinciden ambos ordinales.

Relaciones de Orden

Si m y n son dos números ordinales, diremos que m es menor o igual que n, y escribiremos m ≤ n si y solo si I_m ⊆ I_n, siendo I_m e I_n los segmentos iniciales correspondientes a los ordinales m y n.

Propiedades de la relación

• Orden total: Dados dos ordinales cualesquiera m y n, siempre se puede decidir si m ≤ n o n ≤ m. Esto se reduce a comprobar si I_m ⊆ I_n o I_n ⊆ I_m (en el caso en que ocurran ambas, será I_m = I_n). Por tanto, es posible decidir cuál es el mayor de dos ordinales dados o si coinciden.
• Buena ordenación: Se trata de una buena ordenación, ya que cualquiera de sus partes tiene un primer elemento; el ordinal correspondiente al segmento de menor longitud estará contenido en todos los demás. Esto tiene como consecuencia que a cada ordinal le sigue inmediatamente otro, no habiendo entre ambos ninguno intermedio.
• Coherencia: El siguiente de un ordinal según la relación de orden definida coincide con el siguiente dado por el operador siguiente. Con ello, queda ordenada así: 0 < 1 < 2 < ... < ω, pero por comodidad se escribirá: 0, 1, 2, ..., ω.

Terminología Básica

• Ordenar: Definir en un conjunto A una relación de orden, parcial o total. Con ello, el conjunto quedará parcial o totalmente ordenado.
• Ordinar: Asignar a cada elemento del conjunto A un número ordinal o número de orden, llamado posición ordinal del elemento en la serie de imágenes.
• Seriar: Construir un conjunto de objetos o números que se suceden utilizando algún criterio.