Fundamentos de los Números Racionales y sus Propiedades Matemáticas
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Definiciones de Números Decimales y Fracciones
Solo se considera un número decimal cuando el denominador es una potencia de 10 (2, 5...). Fracción decimal: el denominador es una potencia de 10. VERDADERO.
Números decimales: aquellos para los cuales se puede encontrar una fracción decimal. VERDADERO.
Clasificación de Fracciones
A las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador se les conoce como fracciones propias; por otro lado, a las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se les conoce como fracciones impropias.
Propiedades y Relaciones Numéricas
- Un número decimal es aquel que se puede expresar como fracción decimal. FALSO.
- Los números irracionales no se pueden expresar como fracción. VERDADERO.
- Dos fracciones son equivalentes si los productos a/b = n/m usados son iguales, si y solo si a * m = b * n. VERDADERO.
La Relación de Equivalencia
La relación de equivalencia cumple las tres condiciones exigidas a las llamadas relaciones de equivalencia, o sea:
- Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma.
- Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y, e y es equivalente a x, entonces x e y son la misma fracción.
- Transitiva: si una fracción x es equivalente a otra fracción y, e y es equivalente a otra fracción z, entonces x y z son equivalentes.
Definición Formal de Número Racional
Un número racional es una clase de equivalencia de los resultados de las ecuaciones de las fracciones equivalentes.
Las fracciones equivalentes no son iguales porque las cantidades no son iguales, pero sí representan el mismo número en la recta numérica.
Estructura de una Fracción
Definimos una fracción como un par de números enteros expresado como a/b, donde a es el numerador y b el denominador, con b ≠ 0.
Al conjunto de todas las fracciones lo podemos definir de la siguiente manera:
F = { a/b ; a, b ∈ ℤ y b ≠ 0 }
Características Avanzadas de los Números Racionales
Llamaremos número fraccionario a aquel número racional que admite como representación una fracción irreducible con denominador diferente de uno.
Fracción generatriz de una expresión decimal: es la fracción que la genera; es decir, aquella fracción tal que, dividiendo el numerador por el denominador, da lugar a la expresión dada.
Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales.
Los números racionales cumplen la propiedad de la densidad; esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre los dos en la recta real.