Fundamentos de Números Reales: Definiciones Clave, Aproximación y Errores Matemáticos

Definiciones Fundamentales de Números

Fracción

Fracción: expresión del tipo m/n, donde m y n son números enteros, siendo el denominador n distinto de 0.

Una fracción se puede interpretar como:

• El cociente no efectuado entre su numerador m y su denominador n.
• La razón o proporción de la parte m de un total n.

Fracción Equivalente

Fracción equivalente: fracción que se obtiene al multiplicar (amplificar) o dividir (simplificar) el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número no nulo.

Clasificación de Conjuntos Numéricos

Números Racionales e Irracionales

Número racional: aquel que se puede expresar como una fracción. El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí define un único número racional.

Número irracional: aquel que no puede expresarse mediante una fracción de números enteros.

Números Reales

Números reales: conjunto formado por todos los números racionales e irracionales.

Valor Absoluto

Valor absoluto de un número real: distancia que hay en la recta real entre x y 0. Se escribe |x|.

El valor absoluto coincide con él mismo si el número es positivo y con su opuesto si es negativo.

Aproximación y Cálculo de Errores

Aproximación de un Número Real

Aproximar un número real: considerar solo algunas de sus primeras cifras decimales.

Se puede aproximar un número real por:

• Defecto: cuando el número aproximado que se utiliza es menor que el valor verdadero.
• Exceso: cuando el número aproximado que se utiliza es mayor que el valor verdadero.
• Redondeo: la última cifra decimal que se quiere considerar se mantiene si la cifra siguiente es inferior a 5, o se le añade una unidad si la cifra siguiente es superior o igual a 5.

Errores en la Aproximación

Cuando se aproxima un número real, se comete un cierto error. Si V es el verdadero valor y A el valor aproximado:

• El error absoluto (E_a) es: E_a = |V - A|
• El error relativo (E_r) es: E_r = |V - A| / V

Intervalos y Semirrectas

Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de números reales:

• El intervalo abierto (a, b) está formado por todos los números reales comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b.
• El intervalo cerrado [a, b] está formado por todos los números reales comprendidos entre a y b incluyendo los dos extremos a y b.

Los intervalos también pueden ser abiertos por un lado y cerrados por el otro (semiabiertos o semicerrados).

Semirrectas o Intervalos Infinitos

• La semirrecta abierta (-∞, b) contiene todos los números reales menores que b sin incluir el extremo b.
• La semirrecta cerrada [a, +∞) contiene todos los números reales mayores que a incluyendo el extremo a.