Fundamentos de Ondas y Oscilaciones: Propagación, Energía y Fenómenos Clave

Conceptos Fundamentales de Ondas y Oscilaciones

Doble Periodicidad de la Función de Onda

La ecuación de onda es doblemente periódica: respecto del tiempo (t) y respecto de la distancia (x). Su forma general se puede expresar como:

y = A sen(ωt - kx)

Energía de una Onda Armónica

Cuando una partícula de un medio elástico comienza a vibrar, adquiere una energía que se manifiesta de diferentes formas:

• Energía cinética solamente: Se presenta en la posición de equilibrio, cuando la elongación es cero.
• Energía potencial solamente: Se encuentra en los puntos de máxima elongación.
• Ambas (cinética y potencial): En cualquier otro punto de la vibración, la energía se distribuye entre ambas formas.

Intensidad de las Ondas

La intensidad (I) de un movimiento ondulatorio es la energía que, durante un segundo, atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación.

Supongamos que tenemos un foco que emite ondas en el espacio, el cual es homogéneo (que tiene las mismas propiedades y el mismo comportamiento en todos sus puntos) e isótropo (sus características físicas no dependen de la dirección). En este caso, la energía se propagará mediante ondas esféricas y la intensidad en un punto situado a una distancia (r) del foco emisor valdrá:

I = Potencia / Superficie

Atenuación o Disminución de la Energía

Es el fenómeno natural de las ondas esféricas por el cual, a medida que la onda se aleja del foco, la energía propagada se distribuye en la superficie del frente de onda. El número de partículas en vibración aumenta, por lo que la energía que alcanza cada partícula es menor y, en consecuencia, vibran con menor energía.

Absorción de las Ondas

Es la disminución de la intensidad de la onda, y por lo tanto de su amplitud, al propagarse a causa de la absorción de energía por el medio debido al rozamiento.

Osciladores Amortiguados

Es el proceso por el cual un movimiento vibrante pierde energía mecánica. Esta pérdida de energía se traduce en una disminución de la amplitud y de la velocidad máxima del movimiento que termina, si no hay aporte exterior de energía que lo compense, por detenerse.

La amortiguación más frecuente se debe a un rozamiento viscoso, en el cual la fuerza de rozamiento es proporcional y contraria a la velocidad relativa entre el elemento vibrante y el medio. La ecuación diferencial que describe este movimiento es:

m(d²x/dt²) + b(dx/dt) + kx = 0

Donde:

• m es la masa.
• b es el coeficiente de amortiguamiento.
• k es la constante elástica.
• x es la posición.
• t es el tiempo.

La expresión original -kx-bdx/dt=md^2x/dt es una forma de la segunda ley de Newton para este sistema, reordenada a md^2x/dt^2 + bdx/dt + kx = 0.

Osciladores Forzados y Resonancia

Son osciladores que tienen lugar bajo la acción de fuerzas periódicas externas. Tales oscilaciones tienen la frecuencia de la fuerza externa aplicada y no de la frecuencia natural del cuerpo.

La respuesta del cuerpo vibrante depende de la relación entre la frecuencia de la fuerza externa periódica aplicada y la frecuencia natural del cuerpo vibrante. La elongación (x) de un oscilador forzado puede expresarse como:

x = (F_m / G) sen(ω''t + φ₀)

Donde G es la impedancia mecánica, dada por:

G = √(m²(ω''² - ω²)² + b²ω²)

Aquí:

• F_m es la amplitud de la fuerza externa.
• ω'' es la frecuencia de la fuerza externa.
• ω es la frecuencia natural del oscilador.
• φ₀ es la fase inicial.

Principio de Huygens

Para Huygens, quien propuso una teoría ondulatoria basada en la construcción geométrica, las ondas se propagan en forma de frentes de onda (superficie que une todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en un mismo instante).

Explica la propagación del frente de onda partiendo de la suposición básica de que un foco emisor puntual emite ondas esféricas en un medio isótropo. A partir de esta suposición, propone el siguiente principio:

Todo punto de un medio hasta el cual llega una perturbación (punto de un frente de onda), se considera como un foco emisor de ondas secundarias que se propagan en la dirección de la perturbación.