Fundamentos de Operaciones Aritméticas: Modelos, Algoritmos y Resolución de Problemas

Adición y Sustracción

La adición y la sustracción pueden ser comprendidas a través de diversos modelos:

• Modelos cardinales: Utilizan agrupaciones de elementos.
• Modelos con medidas: Emplean longitudes continuas, como las regletas.
• Modelos lineales: La línea numérica se concibe como un esquema mental útil para contar, sumar o restar números pequeños.
• Modelos funcionales: El primer sumando representa un estado inicial al que se aplica una operación de aumento (el segundo sumando) para alcanzar un estado final.

Algoritmos de Suma y Resta

Un algoritmo es un proceso mecánico que se ejecuta paso a paso. En estos algoritmos, los números se descomponen, considerando los dígitos separadamente en lugar de tratar el número globalmente. Algunas de sus características son:

• Pueden ser corregidos.
• Son estandarizados (todo el mundo los hace igual).
• Son simbólicos.
• Son generales y válidos para cualquier número.
• Son analíticos, manipulando las cifras separadamente.
• Funcionan siempre.

Modos de Sumar y Restar

Existen diferentes modos de realizar sumas y restas:

• Expandido
• Estándar
• Extendido
• Abreviado

Errores Comunes en Suma y Resta

Algunos errores frecuentes incluyen:

• No tener en cuenta las llevadas.
• No considerar el valor posicional del número.
• Poner directamente el valor de las llevadas sin sumarlo.
• Restar el menor al mayor, sin tener en cuenta si el número es parte del minuendo o del sustraendo.

Tipos de Problemas de Sumas y Restas

Los problemas de sumas y restas se clasifican en varias categorías:

• De Cambio: Implican acciones que causan incremento o disminución.
  • De comienzo desconocido.
  • De resultado desconocido.
• De Combinación: Establecen relaciones estáticas entre cantidades.
  • De resultado desconocido.
  • Cantidad inicial desconocida.
• De Comparación: Establecen relaciones estáticas de comparación para determinar diferencias.
  • Diferencia desconocida.
  • Cantidad grande o pequeña desconocida.

Multiplicación y División

La multiplicación se define como la acción de reiterar una cantidad, siendo una interpretación unitaria. La división, por su parte, puede interpretarse como una resta reiterada.

Algoritmos de Multiplicación y División

Los algoritmos para la multiplicación y división incluyen:

• Expandido
• Extendido
• Abreviado
• Estándar
• Tabla de doble entrada
• Enrejado

Para la división, los pasos clave suelen ser:

1. Descomponer el dividendo separando cifras que permitan iniciar la operación.
2. Estimar para poder determinar la cifra del cociente.
3. Esta cifra, multiplicada por el divisor, no debe ser mayor que la parte separada en el dividendo, pero sí la que más se acerque.
4. Comprobar la operación anterior efectuando el cálculo.
5. Rehacer si el producto sobrepasa la cantidad separada.

Tipos de Problemas de Multiplicación y División

Los problemas de multiplicación y división se clasifican en:

• De Razón: Resueltos mediante sumas reiteradas.
• De Combinación: Resueltos mediante el producto cartesiano.
• De Comparación: La cantidad extensiva se repite según el número de la cantidad intensiva.
• De Conversión: Ambas cantidades son intensivas, pudiendo ser razones o cuantificadores.

Problemas Aritméticos de Operaciones Combinadas

Ejemplo Práctico

Antonio compra 4 bolsas de patatas de 1 € cada una y Raúl 2 refrescos de 2 € cada uno. Pagan con 10 €. ¿Cuánto les devuelven?

Análisis del Problema

1. Incógnitas: Cantidad total gastada.
2. Datos necesarios para determinar la incógnita: Cantidad entregada y costo de lo comprado.
3. Incógnitas auxiliares: Costo de las patatas y costo de los refrescos.
4. Cálculo de las incógnitas auxiliares.

Síntesis de la Solución

1. Señalamiento de datos: Número de unidades de bolsas y refrescos, y precio unitario de cada cosa.
2. Determinación de incógnitas auxiliares: Costo de las patatas y costo de los refrescos.
3. Costo total de la compra.
4. Solución en función de la cantidad entregada y el costo total de lo comprado.