Fundamentos de Óptica Geométrica y Cálculos de Fotometría

Deducción de la matriz general

Si S₁₁ = 0, entonces se cumplen las siguientes relaciones:

• h₂ = S₁₂ · s₁
• s₂ = S₂₁ · h₁ + S₂₂ · s₁

De este modo, la altura del rayo 2 es independiente de la altura en 1. Es decir, todos los rayos que pasan por el plano 1 con la misma inclinación s₁, salen por el plano 2 por el mismo punto.

En este caso, el plano 2 es el plano focal imagen. Si S'₁₁ = 0 = S₁₁ - d_2f' · S₂₁, entonces se deduce que d_2f' = S₁₁ / S₂₁.

Problemas de Fotometría

Cálculo del flujo luminoso

Enunciado: La iluminancia producida por una fuente isotrópica a una distancia de 2 m es de 1 lx. ¿Cuál es su flujo luminoso?

Datos:

• E = 1 lx
• d = 2 m
• ω = 4π

Resolución:

Utilizando la fórmula de la iluminancia: E = I / d² ⇒ I = 1 · 2² = 4 cd

Relación entre intensidad y flujo: I = F / ω ⇒ F = I · ω = 4 · 4π = 16π lm

Cálculo de la iluminancia

Enunciado: Si la fuente isotrópica emite 16π lm, ¿cuál es la iluminancia a una distancia de 2 m?

Datos:

• F = 16π lm
• d = 2 m
• ω = 4π

Resolución:

Calculamos la intensidad: I = F / ω = 16π / 4π = 4 cd

Calculamos la iluminancia: E = I / d² = 4 / 2² = 1 lx

Sistemas Ópticos Complejos

Emergencia de pupila en un microscopio

Enunciado: Calcula la emergencia de pupila de un microscopio con un objetivo 100×, un intervalo óptico de 160 mm y un ocular 20×.

Resolución:

• f'_ob = t / β_ob = 160 / 100 = 1,6 mm
• f'_oc = 250 / β_oc = 250 / 20 = 12,5 mm
• Utilizando la ecuación de lentes: 1 / s'_p = 1 / f'_oc - 1 / a ⇒ s'_p = 1 / (1 / 12,5 - 1 / 174,4) ≈ 13,47 mm

Potencia mínima de una lupa

Enunciado: Determina la potencia mínima de una lupa necesaria para un observador con un límite de resolución de 2', que resuelva una red de 50 líneas/mm colocada en el plano focal de la lente.

Resolución:

• tan ω = (1/50) / 250
• ω' = 2' = 2/60°
• Aumento comercial: γ = tan ω' / tan ω ≈ 21,82×
• Potencia: P = γ / 4 ≈ 8,26 D

Iluminación y Matrices de Reflexión

Influencia del sistema de proyección de iluminación crítica

Cuestión: Indique y justifique si un sistema de proyección de iluminación crítica influye sobre la apertura o sobre el campo.

Respuesta: No tiene influencia sobre la apertura porque la que la limita es el objetivo, que debe poseer una gran apertura para captar más luz. Por otra parte, la luz se dirige al objeto, que proyectará la imagen en la pantalla; por lo tanto, la pantalla limitará el campo.

Nota: En el sistema Köhler inverso, la fuente se proyecta en el plano focal anterior del objetivo, que actúa como el plano de apertura.

Deducción de la matriz de reflexión para superficies esféricas

Para una superficie esférica de radio r, aplicamos la ley de Snell en aproximación paraxial:

n · ε = n' · ε'

Considerando las relaciones geométricas:

• ε = y - θ
• ε' = y - θ'
• En aproximación paraxial: y = h / r

Finalmente, la matriz de reflexión resultante es:

[      1              0    ]
[ (n - n') / (n'·r)   n / n' ]