Fundamentos de los Polinomios: Definiciones, Tipos y Regla de Ruffini

¿Qué es un Polinomio?

Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Partes de un Polinomio

• Términos: Es una expresión que está formada por un coeficiente y una variable, y están separados por los signos de suma o resta.
  Ejemplo: 3x, -2x², 4
• Coeficiente: Es el número que multiplica a una variable.
  Ejemplo: 3x² + 2x - 8
• Grado: Es el mayor exponente con el que aparece la variable con coeficiente no nulo.
  Ejemplo: x² + 2x - 8. Es decir, que los grados del polinomio son: 2, 1, 0.
• Término independiente: Es aquel que se encuentra en un polinomio solo, es decir, sin estar multiplicando a la x o a otra incógnita.

Tipos de Polinomios

1. Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
   Ejemplo: P(x) = 2x³ + 5x − 3
2. Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos.
3. Polinomio constante: Está formado por un solo término constante.
   Ejemplo: p(x) = 20
4. Monomio: Es un polinomio que consta de un solo monomio.
   Ejemplo: P(x) = 2x²
5. Binomio: Es un polinomio que consta de 2 monomios.
   Ejemplo: P(x) = 2x² + 3x
6. Trinomio: Es un polinomio que consta de 3 monomios.
   Ejemplo: P(x) = 2x² + 3x + 5

Términos Semejantes

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma, aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente.
Ejemplo: a² y 5a²

Teorema del Resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Regla de Ruffini

Ejemplo de aplicación: (x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con 0.
2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5. Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término; se repite el proceso.

6. El último número obtenido es el resto.