Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Aplicaciones Prácticas

Escrito el 15 de Septiembre de 2025 en español con un tamaño de 10,14 KB

La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia la ocurrencia de sucesos aleatorios. Para comprenderla, es fundamental conocer sus conceptos básicos y principios.

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Sucesos Dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que ocurra A se ve afectada por el hecho de que B haya ocurrido o no.

Ejemplo: Extraer dos cartas de una baraja sin reposición son sucesos dependientes. La probabilidad de la segunda extracción depende de la primera.

Suceso Contrario

El suceso contrario a A, denotado como Aᶜ o A', es aquel que se realiza cuando no se realiza A.

Ejemplo: Son sucesos contrarios sacar un número par y sacar un número impar al lanzar un dado.

Espacio de Sucesos (S)

El espacio de sucesos, denotado por S (o Ω), es el conjunto de todos los sucesos aleatorios posibles de un experimento.

Si lanzamos una moneda, el espacio de sucesos está formado por: S = {∅, {C}, {X}, {C, X}}.

Observamos que el primer elemento, ∅, es el suceso imposible y el último, {C, X}, es el suceso seguro. Si el espacio muestral E tiene un número finito de elementos, n, el número total de sucesos posibles de E es 2ⁿ.

Ejemplos de Cálculo del Número de Sucesos

Para una moneda: E = {C, X}. El número de elementos es n = 2. Por lo tanto, el número de sucesos = 2² = 4.
Para dos monedas: E = {(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)}. El número de elementos es n = 4. Por lo tanto, el número de sucesos = 2⁴ = 16.
Para un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El número de elementos es n = 6. Por lo tanto, el número de sucesos = 2⁶ = 64.

Axiomas de la Probabilidad

Los axiomas de Kolmogorov establecen las bases para la teoría de la probabilidad:

La probabilidad de cualquier suceso A es un número real no negativo y menor o igual que 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
La probabilidad del suceso seguro (el espacio muestral E) es 1.
P(E) = 1
Si A y B son sucesos incompatibles (es decir, su intersección es el suceso imposible, A ∩ B = ∅), entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Propiedades Fundamentales de la Probabilidad

A partir de los axiomas, se derivan las siguientes propiedades:

La suma de las probabilidades de un suceso y su suceso contrario es 1. Por lo tanto, la probabilidad del suceso contrario Aᶜ es:
P(Aᶜ) = 1 - P(A)
La probabilidad del suceso imposible (∅) es cero:
P(∅) = 0
La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Si un suceso A está incluido en otro suceso B (A ⊆ B), entonces su probabilidad es menor o igual a la de este último:
P(A) ≤ P(B)
Si A₁, A₂, ..., Aₖ son sucesos incompatibles dos a dos (es decir, P(Aᵢ ∩ Aⱼ) = ∅ para i ≠ j), entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades:
P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₖ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₖ)
Si el espacio muestral E es finito y un suceso S está compuesto por sucesos elementales S = {x₁, x₂, ..., xₙ}, entonces la probabilidad de S es la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales:
P(S) = P(x₁) + P(x₂) + ... + P(xₙ)

Ejemplo: La probabilidad de sacar un número par al lanzar un dado es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables (equiprobables), entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A se calcula mediante la Regla de Laplace:

P(A) = (Número de casos favorables a A) / (Número total de casos posibles)

Ejemplos de Cálculo de Probabilidad

Lanzamiento de Monedas

Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: {CC, CX, XC, XX}. Total = 4.
Casos favorables: {CC}. Total = 1.
P(dos caras) = 1/4.

Extracción de Cartas

En una baraja española de 40 cartas, hallar la P(as) y P(copas).

Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
P(as) = 4/40 = 1/10.
Casos favorables de copas: 10.
P(copas) = 10/40 = 1/4.

Lanzamiento de un Dado

Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado al aire, salga:

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Total = 6.

Un número par.
- Casos favorables: {2, 4, 6}. Total = 3.
- P(par) = 3/6 = 1/2.
Un múltiplo de tres.
- Casos favorables: {3, 6}. Total = 2.
- P(múltiplo de 3) = 2/6 = 1/3.
Mayor que 4.
- Casos favorables: {5, 6}. Total = 2.
- P(mayor que 4) = 2/6 = 1/3.

Regla de Laplace y Combinatoria

La Regla de Laplace es fundamental para calcular probabilidades en experimentos con sucesos equiprobables. La combinatoria nos resulta muy útil para determinar el número de casos posibles y favorables, especialmente cuando el número de sucesos es grande.

Ejemplos con Combinatoria

Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?
- Casos posibles: El número total de formas en que 10 personas pueden sentarse en un banco es 10! (permutaciones de 10 elementos).
- Casos favorables: Consideramos a las dos personas que deben sentarse juntas como una sola entidad. Así, tenemos 9 'elementos' para permutar (8 personas individuales + el par). Esto da 9! formas. Además, las dos personas dentro del par pueden sentarse de 2! (o 2) formas diferentes (A-B o B-A). Por lo tanto, el número de casos favorables es 2 × 9!.
- P(dos personas juntas) = (2 × 9!) / 10! = (2 × 9!) / (10 × 9!) = 2/10 = 1/5.
Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
Casos posibles: El número total de formas de extraer 5 cartas de 52 es C(52, 5) = 52! / (5! × 47!) = 2,598,960.
1. 4 ases.
  - Casos favorables: C(4, 4) (elegir 4 ases de los 4 disponibles) × C(48, 1) (elegir 1 carta no as de las 48 restantes) = 1 × 48 = 48.
  - P(4 ases) = 48 / 2,598,960 ≈ 0.00001847.
2. 4 ases y un rey.
  - Casos favorables: C(4, 4) (elegir 4 ases) × C(4, 1) (elegir 1 rey de los 4 disponibles) = 1 × 4 = 4.
  - P(4 ases y 1 rey) = 4 / 2,598,960 ≈ 0.00000154.
3. 3 cincos y 2 sotas.
  - Casos favorables: C(4, 3) (elegir 3 cincos) × C(4, 2) (elegir 2 sotas) = 4 × 6 = 24.
  - P(3 cincos y 2 sotas) = 24 / 2,598,960 ≈ 0.00000923.
4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden (de cualquier palo).
  - Casos favorables: C(4,1) para el 9, C(4,1) para el 10, C(4,1) para la sota, C(4,1) para el caballo, C(4,1) para el rey. Esto es 4⁵ = 1024.
  - P(9, 10, J, Q, K de cualquier palo) = 1024 / 2,598,960 ≈ 0.000394.
5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
  - Casos favorables:
    - Elegir el primer palo (4 opciones).
    - Elegir 3 cartas de ese palo (C(13, 3) = 286).
    - Elegir el segundo palo (3 opciones restantes).
    - Elegir 2 cartas de ese segundo palo (C(13, 2) = 78).
    Total = 4 × 286 × 3 × 78 = 267,696.
  - P(3 de un palo y 2 de otro) = 267,696 / 2,598,960 ≈ 0.103.
6. Al menos un as.
  - Es más fácil calcular la probabilidad del suceso contrario: ningún as.
  - Casos favorables (ningún as): C(48, 5) (elegir 5 cartas de las 48 no ases) = 1,712,304.
  - P(ningún as) = 1,712,304 / 2,598,960 ≈ 0.6588.
  - P(al menos un as) = 1 - P(ningún as) = 1 - 0.6588 = 0.3412.

Probabilidad Condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso A condicionada al suceso B, y se representa por P(A|B), a la probabilidad de que ocurra el suceso A una vez que ha ocurrido el suceso B.

Se calcula como: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), siempre que P(B) > 0.

Ejemplo de Probabilidad Condicionada

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado, sabiendo que ha salido un número par.

Sea A = {obtener un 6} = {6}.
Sea B = {obtener un número par} = {2, 4, 6}.
P(B) = 3/6 = 1/2.
A ∩ B = {obtener un 6 y que sea par} = {6}.
P(A ∩ B) = 1/6.
Aplicando la fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/6) / (1/2) = 1/3.

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