Fundamentos del Procesamiento de Imágenes Digitales: Técnicas y Aplicaciones Esenciales

Procesamiento Básico de Imágenes Digitales

Operaciones a Nivel de Píxel

El procesamiento básico de imágenes digitales abarca diversas operaciones fundamentales que actúan directamente sobre los valores individuales de los píxeles. Estas se clasifican principalmente en:

• Operaciones Aritméticas
• Operaciones Lógicas
• Operaciones de Umbralización
• Operaciones Geométricas

Operaciones Aritméticas

Estas operaciones se realizan entre los píxeles de dos imágenes o entre una imagen y un escalar. Los tipos principales incluyen:

• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División

Es crucial considerar los problemas de desbordamiento, que a menudo requieren reescalar los valores de los píxeles para mantenerlos dentro del rango válido. Sus aplicaciones prácticas son variadas:

• La suma de imágenes se utiliza comúnmente para la reducción de ruido.
• La resta es fundamental para el estudio de movimiento o la detección de cambios entre fotogramas.

Operaciones Lógicas

Aplicables principalmente a imágenes binarias, las cuales pueden obtenerse mediante la umbralización de una imagen en escala de grises. Los tipos de operaciones lógicas incluyen:

• NOT (Negación)
• OR (O Lógico)
• AND (Y Lógico)
• XOR (O Exclusivo)

También se incluyen operaciones relacionales como"mayor qu" (>),"menor qu" (<),"igual " (=), etc. Sus aplicaciones son extensas, especialmente en imágenes binarias, donde se utilizan como máscaras para la detección de características y el análisis de formas.

Operaciones de Umbralización

La umbralización es el proceso de crear una imagen binaria a partir de una imagen en escala de grises, basándose en un nivel de umbral (U). La regla general es: B(i,j) = 1, si I(i,j) ≥ U; de lo contrario, B(i,j) = 0. Esto permite segmentar la imagen en dos regiones distintas.

Operaciones Geométricas

Estas operaciones modifican las relaciones espaciales entre los píxeles de una imagen. Los tipos principales son:

• Traslación
• Escalado
• Rotación

Para su implementación, se utilizan matrices de transformación, a menudo empleando coordenadas homogéneas para simplificar la composición de múltiples transformaciones. Es importante destacar que, en muchos casos, estas transformaciones deben combinarse con un algoritmo de interpolación para evitar artefactos y asegurar una calidad de imagen óptima.

Ejemplo de Composición de Transformaciones Geométricas

Un ejemplo común de composición de transformaciones geométricas es la rotación alrededor de un punto arbitrario, que se logra mediante la secuencia: Traslación al origen (T_-x,-y) → Rotación (R) → Traslación de vuelta (T_x,y). Esto se representa matemáticamente como: Tx,y · R · T-x,-y = F (donde F es la transformación final).

Histograma y Realce de Imágenes

El Histograma de Imagen

El histograma es una representación gráfica de la frecuencia con la que los diferentes niveles de gris (o intensidad) aparecen en una imagen digital. Es una herramienta fundamental para el análisis de imágenes, ya que permite condensar información sobre la distribución de los píxeles (probabilidades de cada nivel de gris). Sin embargo, es importante notar que se pierde la localización espacial de los píxeles.

El rango dinámico de una imagen se define como el conjunto de niveles de gris presentes en su histograma.

Modificación y Realce del Histograma

Las modificaciones del histograma se pueden visualizar mediante funciones de transferencia, que corresponden a curvas acotadas en abscisas y ordenadas entre 0 y 1.

Operaciones de Realce

Las principales operaciones de realce basadas en el histograma son:

• Aumento del Contraste
• Ecualización del Histograma

Ecualización del Histograma

La ecualización del histograma tiene como objetivo obtener un nuevo histograma a partir del original, con una distribución uniforme de los diferentes niveles de intensidad. Esto significa que, idealmente, para todos los niveles de gris, se tiene el mismo número de píxeles, lo que generalmente mejora la apariencia visual de la imagen al maximizar el contraste. Para que la ecualización sea útil y efectiva, es deseable que toda la imagen reúna propiedades similares en cuanto a su distribución de intensidad.

Filtrado en el Dominio de la Frecuencia

Concepto de Filtro

Un filtro puede verse como un mecanismo de cambio o transformación de una señal de entrada, a la cual se le aplica una función de transferencia para obtener una señal de salida. Todas estas señales y funciones pueden ser discretas o continuas; en el tratamiento de imágenes, se utilizan predominantemente señales y funciones discretas.

Representación en el Dominio de la Frecuencia

Las representaciones en el dominio de la frecuencia permiten capturar y manipular la información de una imagen de manera eficiente. Es particularmente útil porque, al conocer la frecuencia de repetición de los elementos que componen una imagen, se pueden apreciar y alterar componentes específicos como el ruido, los bordes o las texturas.

Algunas de las transformadas más utilizadas en el dominio de la frecuencia para el tratamiento de imágenes incluyen:

• Transformada de Fourier
• Transformada del Coseno
• Transformada Wavelet
• Análisis de Componentes Principales (PCA)

La Transformada de Fourier (TF)

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que descompone una función en una suma de un conjunto de funciones sinusoidales de diferentes frecuencias, ponderadas por coeficientes, para aproximarse a la función original. Para una función periódica en el tiempo, con periodo T, se expresa como una serie de Fourier:

f(x) = a0 + ∑ (ak cos(kω0x) + bk sen(kω0x))

Los coeficientes (a_k, b_k) evalúan el peso que tiene cada función sinusoidal en la construcción de la señal. Los senos y cosenos forman una base de funciones en el dominio de la frecuencia. La Transformada de Fourier de una función es una extensión de las series de Fourier a señales no periódicas.

Transformada Discreta de Fourier (TDF)

La Transformada Discreta de Fourier (TDF) se aplica a un conjunto finito de valores. Las principales modificaciones respecto a la transformada continua son:

• Las integrales se reemplazan por sumatorios.
• Se realiza un cambio de variable sobre los coeficientes para que la función se defina en un intervalo general.
• Se puede usar la fórmula de Euler para encontrar una notación más compacta, transformando los valores en números complejos.

Transformada Rápida de Fourier (TRF o FFT)

La Transformada Rápida de Fourier (TRF o FFT) es un algoritmo eficiente para calcular la TDF. Sus pasos clave incluyen:

1. Calcular la exponencial fuera del sumatorio: Se precalcula la parte exponencial de la fórmula y se almacena en un array (pre-cálculo).
2. Calcular por separado los términos pares e impares de la serie de Fourier: Para el cálculo de un término de la serie, solo son necesarias N/2 sumas.
3. Si el número de valores (N) de la función a aproximar es una potencia de 2 (N = 2^k), se pueden calcular los términos pares e impares de forma sucesiva, aplicando el principio de "divide y vencerás".

Aplicación de la Transformada de Fourier en Imágenes

La Transformada de Fourier es ampliamente utilizada en el procesamiento de imágenes para tareas como el filtrado (paso bajo, paso alto), compresión, restauración y análisis de texturas, al permitir trabajar con las componentes de frecuencia de la imagen.