Fundamentos de Sistemas de Control: Transformada de Laplace, Polos, Ceros y Estabilidad

El factor S es un número complejo 

Una variable compleja tiene 2 componentes: real (   ) e imaginaria (   ). En forma gráfica, la componente real de S está representada por el eje (    ) en la dirección horizontal y la componente imaginaria se mide a lo largo del eje vertical  jw, en el plano complejos S   

Perturbación de un sistema 

Escalón

Rampa

Impulso 

Perturbación escalón

Indica un comportamiento o una referencia constante introducidos al sistema 

Perturbación pulso rectangular 

En términos de la función escalón de heaviside (escalón unitario) 

Perturbación función impulso

Se caracteriza por ser una señal de prueba con magnitud muy grande y duración muy corta

      :delta de dirac(impulso infinitamente angosto e infinitamente alto, de área bajo la curva igual a 1

Perturbación función rampa

Supone una referencia con variación continua en el tiempo

Polos y ceros de una función de una transferencia 

G(s): Y(s)/X(s)

Transformada de laplace de la salida/transformada de laplace de la entrada

X(s)→G(s)→Y(s)

Nos sirve para la representar la dinámica de un sistema lineal e invariante en el tiempo en ecuaciones algebraicas en función de s

G(s)=

Al ser polinomios tanto ceros como polos pueden ser números imaginarios

Una función de transferencia en el plano complejo

     Ceros

     Polos     

En el dominio tiempo, se dice que un sistema g(t) es estable si su límite existe cuando t→∞

Los polos determinan la estabilidad

pueden ser 

* Estables

*Inestables

*Marginalmente estables

Los ceros de lado derecho no inestabilizan mi sistema, pero si cambian su comportamiento dinámico

Respuesta exponencial convergente 

Respuesta exponencial divergente

Respuesta inversa   

Respuesta oscilatoria con amortiguamiento

Respuesta oscilatoria  

Transformada de laplace 

Convierte una función f(t) del dominio tiempo, definida para tiempos mayores o iguales a cero, en una función F(s) propia del dominio s ( una variable compleja) mediante la integral impropia 

por lo tanto, si la integral existe, se dice que F(s) es la transformada de laplace de la función f(t)

*Es una herramienta para el análisis del comportamiento del proceso

*Mediante este método, una ecuación diferencial es transformada en una ecuación algebraica 

*Al resolver esta ecuación algebraica y llevarla a su forma inversa (antitransformada), se obtiene la solución de la ecuación diferencial original