Fundamentos de Teoría Combinatoria y Cálculo de Vectores en R3
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Teoría Combinatoria
La teoría combinatoria es la rama de la matemática cuyo objetivo es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que se pueden llevar a cabo de un modo rápido.
Combinación
Las combinaciones son números que determinan el número de formas de seleccionar elementos de un conjunto y aparecen en la expansión binomial.
El término "n" (Factorial)
El término "n" es factorial y es la multiplicación de todos los números que van desde n hasta 1.
Variación
Se llama variación a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: Vm,n = m! / (m-n)!
Permutación
Es una combinación ordenada; existen dos tipos:
- 1) Permiten repetir.
- 2) No permiten repetir.
Número Factorial
El número factorial es el número entero positivo que se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.
Números Combinatorios
El número Cn,m se llama número combinatorio. Se representa por (m/n).
Propiedades de un número combinatorio
- 1) Cualquier número entero positivo sobre 0 es igual a 1.
- 2) Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m.
- 3) Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales: (m / m-n) = (m / n).
Binomio de Newton
Es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio.
Triángulo de Tartaglia
Es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.
Vectores en R3
Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales.
Módulo de un vector
Es la longitud del segmento orientado que lo define. Es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo 0.
Suma y resta de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes o coordenadas.
Productos de un número real
El producto de un número real k ∈ R por un vector u es otro vector:
- De igual dirección que el vector u.
- Del mismo sentido que el vector u si k es positivo.
- De sentido contrario del vector u si k es negativo.
- De módulo |k| · |u|.
Combinación lineal
Es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados previamente por escalares.
Linealmente dependiente
Dos vectores son linealmente dependientes solo si son paralelos.
Linealmente independiente
Son linealmente independientes si tienen distintas direcciones.