Fundamentos y Terminología Esencial del Contraste de Hipótesis Estadística

Conceptos Fundamentales en el Contraste de Hipótesis

Tipos de Hipótesis Estadísticas

Hipótesis Estadística (H)

Es cualquier afirmación, conjetura o suposición sobre una o varias características de interés sobre la distribución de la variable aleatoria $X$.

Hipótesis Paramétrica

Ocurre cuando la hipótesis se refiere específicamente al valor de un parámetro desconocido.

Hipótesis No Paramétrica

Ocurre cuando la hipótesis se refiere a características más generales, como la propia forma de la función de distribución $f(x;\theta)$.

Hipótesis de Contraste

Hipótesis Nula ($H_0$)

Es aquella hipótesis que se desea contrastar. La hipótesis nula se denota por $H_0$.

Hipótesis Alternativa ($H_1$)

Es la hipótesis complementaria a la nula. Se denota por $H_1$. Con hipótesis paramétrica, recoge aquella parte del espacio paramétrico que no está incluida en la hipótesis nula.

Clasificación de Hipótesis Paramétricas

Hipótesis Simple

Cuando la hipótesis paramétrica especifica un único valor para el parámetro poblacional.

Hipótesis Compuesta

Cuando la hipótesis paramétrica asigna un conjunto de valores posibles al parámetro.

El Test de Rechazo

El Test de Rechazo es una regla que nos indica cuándo debemos rechazar la hipótesis que nos estamos planteando ($H_0$), basándose en la información proporcionada por una muestra.

Métricas y Criterios de Decisión

Riesgos y Puntos de Decisión

Tamaño del Test o Nivel de Significación ($\alpha$)

Es el máximo riesgo que estamos dispuestos a asumir respecto a "rechazar $H_0$ cuando la hipótesis es cierta". Esto se conoce como Error Tipo I.

Valor Crítico

Es el valor de un cuantil a partir del cual se establece la regla de aceptación o rechazo de $H_0$.

Errores Posibles en un Contraste de Hipótesis

El error mencionado es el Error Tipo I.

Potencia del Test y P-Valor

Función de Potencia del Test

Dado un test o contraste, se define la función de potencia como la función que asigna a cada valor del parámetro ($\theta$) la probabilidad de rechazar $H_0$, supuesto que ese es el verdadero valor del parámetro.

Test Uniformemente Más Potente (TUMP)

Se dice que $V_t$ es el test uniformemente más potente del tamaño $\alpha$ para contrastar [la hipótesis específica].

P-Valor (Valor p)

Es el mínimo nivel de significación ($\alpha$) para el que se rechazaría $H_0$ dada una determinada realización muestral. El P-valor coincide con el valor más pequeño de $\alpha$ que, en base a la información muestral, nos lleva a rechazar $H_0$.

Regla General de Decisión basada en el P-Valor

• Si P-valor > $\alpha$: No se rechaza $H_0$.
• Si P-valor < $\alpha$: Se rechaza $H_0$.

Requisitos de un Estimador

Para que una función sea considerada un estimador válido, debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Tiene que ser un estadístico.
2. No puede contener los parámetros desconocidos.
3. Para cualquier realización muestral, el valor obtenido por el estimador tiene que pertenecer al espacio paramétrico.