Fundamentos y Tipos de Funciones Matemáticas: Afín, Cuadrática y Exponencial

Definiciones Fundamentales de las Funciones

Función: Dados dos conjuntos A y B, sea F una función; esta se verifica si todos los elementos del punto de partida están relacionados con un solo elemento del punto de llegada.

• Dominio: Son los elementos del punto de partida que están relacionados con los elementos del punto de llegada.
• Rango: Son los elementos del punto de llegada que son imágenes de algún elemento del dominio.
• Codominio: Es todo objeto formado por objetos reales de alguna contraimagen.

Clasificación de Funciones según su Relación

• Función inyectiva: Para distintos elementos del dominio corresponden distintas imágenes del rango.
• Función sobreyectiva: Se cumple si el conjunto de llegada y el rango son los mismos.
• Función biyectiva: Se da si la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Estudio de la Función Afín

La función afín es una función real de variable real, cuya expresión general es y = mx + b. En esta fórmula, m representa el grado de inclinación de la gráfica:

• Cuando m es negativa, el ángulo es obtuso.
• Cuando es positivo, el ángulo es agudo.

Es inyectiva porque a distintos valores de x corresponden distintos valores de y; es sobreyectiva porque el codominio y el rango son iguales. Por estas razones, es biyectiva. Todas las funciones biyectivas permiten inversas, cuya expresión es y = (x - b) / m. Además, el valor del término independiente determina el punto de corte con el eje y.

Características de la Función Cuadrática

La función cuadrática es una función real de variable real definida por la ecuación y = ax² + bx + c. En este caso, c representa el punto de corte con el eje y. Esta función siempre se representará como una parábola:

• Si el coeficiente que acompaña a ax² es positivo, la parábola abrirá hacia arriba, presentando un punto mínimo.
• Si es negativo, abre hacia abajo, presentando un punto máximo.
• Si la parábola abre hacia arriba y la ordenada del vértice es negativa, tiene punto de corte con el eje x.
• Si la función abre hacia abajo y la ordenada es negativa, no tiene punto de corte.

La recta que divide la parábola en dos partes iguales se llama eje de simetría. La gráfica puede tener uno, dos o ningún punto de corte con x (pcx). No es inyectiva porque a distintos valores de x pueden corresponder los mismos valores de y; por esta razón, no es biyectiva y no permite inversa en su dominio global.

Análisis de la Función Exponencial

La función exponencial es una función de R → R+ (dominio real y rango solo de números positivos). Su representación gráfica es una línea curva.

• Es creciente si, a medida que x toma valores mayores, la gráfica también aumenta su valor.
• Es decreciente cuando, a medida que x toma valores mayores, los valores que toma la función se hacen menores.

Esta función es inyectiva, ya que para distintos valores de x corresponden distintos valores de y, y es sobreyectiva porque el rango y el codominio son iguales. Por lo tanto, es biyectiva. Esta propiedad permite que admita una función inversa: la función logarítmica.