Fundamentos de la Transformación Adiabática en Gases Ideales: Ecuaciones y Relaciones

Transformación Adiabática: Definición y Fundamentos

Una transformación adiabática se define por la condición de que el calor intercambiado es nulo: $\mathbf{Q=0}$ y, por lo tanto, $\mathbf{dQ=0}$.

Aplicación del Primer Principio de la Termodinámica

Según el primer principio de la termodinámica aplicado a un gas perfecto, la relación diferencial es:

Implicaciones Físicas

• En la expansión de un gas perfecto, se realiza un trabajo positivo a expensas de una disminución de su energía interna (es decir, de su temperatura, $T$).
• En una compresión adiabática, el trabajo recibido por el fluido produce un aumento de la energía interna (o sea, de la temperatura, $T$).

Relación entre Calores Específicos

En las leyes que rigen estas transformaciones aparece una relación $\mathbf{k}$ entre los calores específicos a presión constante ($C_p$) y a volumen constante ($C_v$), la cual fue determinada experimentalmente para distintos gases y puede consultarse en la Tabla 9:

Desarrollo de las Ecuaciones de la Transformación

Para establecer las fórmulas de estas transformaciones, reemplazamos la ecuación de estado de un gas perfecto en la primera ecuación diferencial obtenida:

Integración y Simplificación

Dividiendo por $C_v \cdot T$ ambos miembros y simplificando, obtenemos:

Teniendo en cuenta la fórmula de Mayer, donde el término $\left(A \cdot R / C_v\right)$ equivale a:

Reemplazando, obtenemos la ecuación diferencial de las transformaciones adiabáticas en función de los parámetros $T$, $v$, y del coeficiente $\mathbf{k}$ de los calores específicos (Ecuación 5):

Formas Integradas de la Ecuación Adiabática

Integrando la ecuación anterior, se llega a las siguientes relaciones fundamentales:

Relación Temperatura-Volumen (Ecuación 6)

La integración conduce a:

• *Integrando la ecuación anterior, llegamos a: (6)*

Además, pasando de los logaritmos a los números, esto equivale a establecer que:

• *Además, pasando de los logaritmos a los números, equivale a establecer que: (7)*

Relación Presión-Volumen (Ecuación de Poisson)

Esta fórmula relaciona la temperatura con el volumen para cualquier estado:

• *Fórmula que nos relaciona para las transf. Adiabáticas, la temperatura con el volumen de un estado cualquiera.*

Para hacer intervenir la presión, sabemos de la ecuación de estado que $T = p \cdot v / R$, por lo que reemplazando este valor:

• *Para hacer intervenir la presión, sabemos de la ec. de estado que $T=p\cdot v/R$, por lo que reemplazando este valor: (8)*

Se concluye que:

• *Para una transf. Adiabática, el producto de la presión por el volumen elevado a la potencia $\mathbf{k}$ es $\mathbf{CONSTANTE}$*

Relaciones entre Dos Estados (1 y 2)

Las fórmulas anteriores pueden representarse para cualquier estado, por ejemplo, un estado 1 y un estado 2:

• *Las formulas anteriores pueden representarse para cualquier estado, por ejemplo un estado 1 y un estado 2: (9)*

Derivación de Relaciones Específicas

Relación T-v entre dos estados

Dividiendo la segunda ecuación de (9) por la primera miembro a miembro:

• *Dividiendo la segunda por la primera miembro a miembro: (10)*

Despejando la relación de temperaturas:

• *Despejando la relacion de temperaturas (11)*

Relación P-v entre dos estados

Con igual criterio, considerando los dos estados relacionados con la presión:

• *Con igual criterios, considerando los dos estados relacionados con la presión: (12)*

Dividiendo miembro a miembro y despejando la relación $P_2/P_1$ se obtiene:

• *Dividiendo miembro a miembro y despejando la relación $P_2/P_1$ se obtiene: (13)*

Relación P-T entre dos estados

Sacando la raíz $\mathbf{k}$-ésima de ambos miembros, y luego elevando ellos a la potencia $\mathbf{k-1}$:

• *Sacando la raíz k de ambos miembros, y luego elevando ellos a la potencia k-1, resulta: (14)*

De acuerdo con esta última igualdad, podemos establecer que para las transformaciones adiabáticas, las fórmulas siguientes nos relacionan dos estados cualesquiera:

• *De acuerdo con esta última igualdad, podemos establecer que para las transf. Adiabáticas, las formulas siguientes nos relacionan dos estados cualesquiera: (15)*