Fundamentos de Transformaciones Geométricas: Simetría, Traslación y Rotación en el Arte

Simetría Axial

Es un movimiento del plano determinado por una recta r de tal manera que un punto P' del plano es la imagen de un punto P dado (es simétrico de P). Si a la recta r se le llama eje de simetría, todos los puntos de este eje son dobles.

Propiedades:

• Conserva la amplitud de los ángulos y las distancias (longitud de los segmentos).
• Las rectas perpendiculares al eje de simetría son dobles, pero no sus puntos.
• La imagen de una recta paralela al eje de simetría es otra recta paralela.
• La transformada de una recta oblicua forma con el eje de simetría un ángulo igual al que forma la recta dada y, por tanto, el eje de simetría es la bisectriz del ángulo que forma una recta oblicua con su transformada.
• Es un movimiento involutivo (la figura simétrica de la simétrica de una figura dada es la propia figura de partida).
• Es un movimiento inverso (cambia el sentido de la orientación).

Simetría Central

Es un movimiento del plano determinado por un punto O de tal manera que un punto P' del plano es la imagen de un punto P (es simétrico de P) si O es el punto medio del segmento PP'. Al punto O se le denomina centro de simetría.

Propiedades:

• La simetría central conserva la amplitud de los ángulos y las distancias (longitud de los segmentos).
• Las rectas que pasan por el centro de simetría son dobles, pero no sus puntos.
• No cambia la orientación del plano, ya que coincide con un giro de 180º.

Traslación

Trasladar una figura plana es aplicar a la misma un movimiento rectilíneo según una dirección determinada. Un vector v (vector de traslación) marca la dirección, el sentido y la magnitud del desplazamiento. Una traslación, determinada por el vector v, transforma un punto A en otro A' tal que el vector AA' = v.

Propiedades:

• Conserva la amplitud de los ángulos y las distancias (longitud de los segmentos).
• Conserva la orientación del plano.
• Las rectas que tienen la misma dirección del vector son figuras invariantes.
• No tiene puntos dobles.

Giros (Rotaciones)

Girar es modificar la posición de una figura respecto de la inicial, aplicándoles un movimiento de rotación respecto a un punto fijo, llamado centro de giro o de rotación. El giro determinado por el centro O y una amplitud de ángulo α transforma un punto A en otro A' tal que OA = OA' y el ángulo AOA' = α.

Propiedades:

• Conserva la amplitud de los ángulos y las distancias (longitud de los segmentos).
• Los giros conservan la orientación del plano.
• El único punto doble en un giro de ángulo α distinto de 0º y de 360º es el centro de giro.
• Una recta y la recta girada forman un ángulo igual al ángulo de giro.