Fundamentos de Trazados Geométricos: Conceptos y Construcciones Esenciales

Cateto e Hipotenusa

El cateto es uno de los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, siendo el lado de mayor longitud.

(El texto original describe una construcción para la hipotenusa: "desde el extremo de un cateto (a), se traza un arco hasta el otro cateto (b). Desde el punto donde 'a' termina y 'b' empieza, se sube hasta cortar, obteniendo la hipotenusa.")

Altura de un Triángulo

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación.

(El texto original menciona: "A seguido de B e igual, pero siempre es triángulo rectángulo", lo cual es una descripción confusa y no universal para la altura).

Proporción Áurea

La proporción áurea (o número áureo, φ) es una relación matemática irracional que se encuentra en la naturaleza y el arte. Se obtiene al dividir un segmento en dos partes de tal manera que la relación entre la parte mayor y la menor sea la misma que la relación entre el segmento total y la parte mayor.

(La construcción descrita es: "se traza un segmento de longitud 1, y desde 0.1 se traza hasta donde corte con la circunferencia, obteniendo el punto áureo").

Arco Capaz

El arco capaz de un ángulo dado sobre un segmento es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales el segmento se ve bajo ese ángulo.

(La construcción descrita es: "se trazan los grados indicados por debajo de la recta, y a 90º de esos grados, donde corte con la mediatriz de la recta, se encuentra el centro del arco capaz").

Rectificación de un Círculo

La rectificación de un círculo es el proceso de determinar la longitud de su circunferencia. Una aproximación común para la longitud de la circunferencia (πD) es:

• Tomar el diámetro (D) tres veces.
• Dividir uno de esos diámetros en siete partes.
• Añadir una de esas séptimas partes (D/7) a los tres diámetros (3D).

Esto resulta en una aproximación: Circunferencia ≈ 3D + D/7.

Centro Radical y Eje Radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Para su construcción:

1. Se unen los centros (O1 y O2) de las dos circunferencias.
2. Se traza una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias originales.
3. Por los dos puntos de corte de la circunferencia auxiliar con cada una de las circunferencias originales, se trazan dos líneas auxiliares (eje 1 y eje 2).
4. El eje radical es la línea que pasa por el punto de corte de estos dos ejes auxiliares y es perpendicular a la línea que une los centros (O1 y O2).

El centro radical es el punto donde se intersecan los ejes radicales de tres o más circunferencias.

Semejanza de Figuras

La semejanza en geometría se refiere a figuras que tienen la misma forma pero diferente tamaño. Para construir figuras semejantes (aplicando el Teorema de Tales):

1. Desde un punto cualquiera, se unen los vértices de la figura original.
2. En uno de los lados, se divide el segmento en el número de partes indicado por el denominador de la razón de semejanza.
3. Se toma la cantidad de partes indicada por el numerador, contando desde el punto de origen.
4. Se trazan líneas paralelas a los lados correspondientes para obtener la figura semejante.

Transformación de Triángulo en Rectángulo

Para transformar un triángulo en un rectángulo de igual área:

1. Se toma la mitad de la altura del triángulo.
2. El rectángulo resultante tendrá como lados la base del triángulo y la mitad de su altura.

Transformación de Rectángulo en Cuadrado

Para transformar un rectángulo en un cuadrado de igual área (mediante la media geométrica):

1. Se suman las longitudes del lado mayor y el lado menor del rectángulo.
2. Se traza la mediatriz de este segmento combinado.
3. Con centro en el punto medio de este segmento y radio hasta sus extremos, se traza un semicírculo.
4. Desde el punto donde se unen los dos lados originales del rectángulo, se traza una perpendicular hasta que corte el semicírculo.
5. La longitud de esta perpendicular es el lado del cuadrado equivalente.

Transformación de Triángulo en Cuadrado

Para transformar un triángulo en un cuadrado de igual área:

1. Primero, se transforma el triángulo en un rectángulo de igual área.
2. Luego, ese rectángulo se transforma en un cuadrado de igual área.

Baricentro (Centroide)

El baricentro (o centroide) de un triángulo es el punto de intersección de sus tres medianas. Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Incentro

El incentro de un triángulo es el punto de intersección de sus tres bisectrices. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Circunferencia Circunscrita y Polígonos Estrellados

El centro de la circunferencia circunscrita (circunferencia exterior que pasa por los vértices de un triángulo) se encuentra en la intersección de las mediatrices de sus lados.

Para construir polígonos estrellados a partir de un polígono regular de 'n' lados, se unen los vértices saltando un número constante de ellos. Se evitan las conexiones que resulten en un divisor común con el número de lados 'n', ya que estas formarían polígonos regulares más pequeños o líneas repetidas.

Construcciones de Tangencias

Tangentes a una Recta desde Dos Puntos (PPR)

Para trazar circunferencias tangentes a una recta dada y que pasen por dos puntos A y B:

1. Une los puntos A y B con la recta.
2. Identifica el punto N donde la línea AB se cruza con la recta dada.
3. Calcula la media proporcional entre los segmentos NA y NB.
4. Desde N, marca sobre la recta los puntos x1 y x2, cuya distancia a N sea igual a la media proporcional calculada.
5. Traza la mediatriz del segmento AB.
6. Desde x1 y x2, traza perpendiculares a la recta.
7. Los puntos donde estas perpendiculares cortan la mediatriz de AB son los centros de las circunferencias tangentes.

Tangentes a Dos Rectas que Pasan por un Punto (PRR)

Para trazar circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto P:

1. Traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. El centro de cualquier circunferencia tangente a ambas rectas estará sobre esta bisectriz.
2. Desde el punto P, traza una perpendicular a la bisectriz.
3. Mide la distancia desde P hasta la bisectriz.
4. Marca esta misma distancia en el lado opuesto de la bisectriz desde el punto de intersección de la perpendicular con la bisectriz.

(El texto original añade: "Igual que el anterior", lo cual es una descripción confusa y no aplica directamente a esta construcción).

Tangentes a una Circunferencia desde Dos Puntos (PPC)

Para trazar circunferencias tangentes a una circunferencia dada y que pasen por dos puntos A y B:

1. Traza la mediatriz del segmento AB.
2. Traza una circunferencia auxiliar que pase por los puntos A y B y que corte a la circunferencia dada en dos puntos C y D. (El centro de esta circunferencia auxiliar puede ser cualquier punto de la mediatriz de AB).
3. Une los puntos C y D. Prolonga la línea CD y la línea AB hasta que se corten en un punto E.
4. Une el punto E con el centro O de la circunferencia dada.
5. Traza la mediatriz del segmento EO. Con centro en el punto medio de EO y radio hasta E (o O), traza una circunferencia que corte a la circunferencia dada. Los puntos de corte son los dos puntos de tangencia (T1 y T2).
6. Une el punto de tangencia T1 con el centro O y prolonga la línea hasta que corte la mediatriz de AB. Este es el centro de la primera circunferencia tangente.
7. Une el punto de tangencia T2 con el centro O y prolonga la línea hasta que corte la mediatriz de AB. Este es el centro de la segunda circunferencia tangente.

Tangentes a una Circunferencia y una Recta, pasando por un Punto en la Recta (PRC - Punto en la Recta)

Para trazar circunferencias tangentes a una circunferencia dada y a una recta, pasando por un punto P situado en la recta:

1. Desde el punto P, traza una perpendicular a la recta.
2. Mide el radio de la circunferencia dada. Marca esta distancia sobre la perpendicular, tanto por encima como por debajo de P, obteniendo los puntos R1 y R2.
3. Une R1 y R2 con el centro O de la circunferencia dada.
4. Traza las mediatrices de los segmentos OR1 y OR2.
5. Los puntos donde estas mediatrices cortan la perpendicular trazada desde P son los centros de las circunferencias tangentes.

Tangentes a una Circunferencia y una Recta, pasando por un Punto en la Circunferencia (PRC - Punto en la Circunferencia)

Para trazar una circunferencia tangente a una circunferencia dada y a una recta, pasando por un punto P situado en la circunferencia:

1. Une el centro O de la circunferencia dada con el punto P.
2. Traza una perpendicular a la recta dada que pase por el punto P.

(El texto original es muy conciso y ambiguo: "donde corte a la recta hace dos ángulos. Hacer la bisectriz de los dos y donde corte a la recta OP es el centro de la tangencia". Una interpretación común para esta construcción implica trazar la bisectriz del ángulo formado por la recta y la línea OP, y donde esta bisectriz corte a la prolongación de OP, se encuentra el centro de la circunferencia tangente).