Fundamentos de Trigonometría: Ángulos, Medidas y Razones Trigonométricas Esenciales

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

¿Qué es la Trigonometría?

La trigonometría es la rama de la matemática que estudia las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos.

El Ángulo y sus Propiedades

Definición de Ángulo

Un ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen común.

Elementos de un Ángulo

• El origen O es el vértice del ángulo.
• Las semirrectas OA y OB son los lados del ángulo.
• OA es el lado inicial.
• OB es el lado terminal.

Generación y Denotación de Ángulos

El ángulo AOB (denotado como α) se genera mediante la rotación del lado OA hasta el lado OB.

Los ángulos pueden denotarse con letras del alfabeto griego (α, β, γ, etc.). También pueden denotarse como ángulo A-B, que se lee "ángulo A o B".

Sentido de Rotación de un Ángulo

• Un ángulo es positivo si el lado OA se rota en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
• Un ángulo es negativo si el lado OA se rota en el mismo sentido del giro de las manecillas del reloj hasta OB.

Si la rotación es completa en sentido contrario a las manecillas del reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será de 360°, con los lados inicial y final coincidiendo.

Medida de los Ángulos

Cuando medimos un ángulo, lo que realmente hacemos es determinar qué parte de la rotación total ha recorrido el lado terminal. Mientras mayor sea el recorrido del lado terminal, mayor ha de ser el ángulo.

Sistemas de Medida Angulares

Las medidas de los ángulos pueden ser expresadas en diferentes sistemas:

1. Sistema Centesimal: Es aquel en el cual el ángulo completo se divide en 400 partes iguales.
2. Sistema Sexagesimal: Es aquel en el cual el círculo se fragmenta en 360 divisiones llamadas grados. Estos, a su vez, se subdividen en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. Esto indica que, usando este sistema, un ángulo puede ser expresado en grados, minutos y segundos.
3. Sistema Radián (o Circular): Es aquel en el cual el círculo se fragmenta en 2π radianes.

Definición de Radián

Un radián es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio.

Conversión entre Grados Sexagesimales y Radianes

Para realizar una conversión entre grados sexagesimales y radianes, bastará con recordar que 360° de un círculo equivalen a 2π radianes, lo cual es equivalente a decir:

180° = π radianes

De donde:

1 radián = 180° / π

Tabla de Equivalencias Angulares

A continuación, se muestra una tabla con las medidas correspondientes en grados y radianes de algunos ángulos comunes:

El Triángulo Rectángulo

Un triángulo rectángulo se caracteriza porque tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. La hipotenusa es siempre el lado más largo de los tres.

Nomenclatura de Lados

• X = cateto
• Y = cateto
• Z = hipotenusa

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos:

Z² = X² + Y²

Por lo tanto:

Z = √(X² + Y²)

Ángulos Agudos en un Triángulo Rectángulo

En todo triángulo rectángulo, sus ángulos agudos suman 90°. Esto se puede traducir diciendo que los ángulos α y β en el triángulo rectángulo son ángulos complementarios, pudiéndose escribir:

α + β = 90°

Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo con respecto a sus ángulos agudos.

1. Seno (sen α)

Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto (BC) y la hipotenusa (AB):

sen α = BC / AB = a / c = Cateto Opuesto / Hipotenusa = C.O. / h

2. Coseno (cos α)

Se llama coseno de α a la razón entre el cateto adyacente (AC) y la hipotenusa (AB):

cos α = AC / AB = b / c = Cateto Adyacente / Hipotenusa = C.A. / h

3. Tangente (tan α)

Se llama tangente de α a la razón entre el cateto opuesto (BC) y el cateto adyacente (AC):

tan α = BC / AC = a / b = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente = C.O. / C.A.

4. Cotangente (cot α)

Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente (AC) y el cateto opuesto (BC):

cot α = AC / BC = b / a = Cateto Adyacente / Cateto Opuesto = C.A. / C.O.

También se define como: cot α = 1 / tan α

5. Secante (sec α)

Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa (AB) y el cateto adyacente (AC):

sec α = AB / AC = c / b = Hipotenusa / Cateto Adyacente = h / C.A.

También se define como: sec α = 1 / cos α

6. Cosecante (csc α)

Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa (AB) y el cateto opuesto (BC):

csc α = AB / BC = c / a = Hipotenusa / Cateto Opuesto = h / C.O.

También se define como: csc α = 1 / sen α

La Circunferencia Trigonométrica

Partimos de la circunferencia trigonométrica de radio unitario e imaginamos que el punto P de coordenadas (x,y) parte de A y hace un recorrido a través de la circunferencia, moviéndose en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo).