Fundamentos de Trigonometría: Relaciones y Teoremas Esenciales

Fundamentos de Trigonometría

sen = cat op / hip

cos = cat cont / hip

tg = cat op / cat cont

cosec = 1 / sen

sec = 1 / cos

cotang = 1 / tg

tg = sen / cos

sen² + cos² = 1

1 + tg² = sec² | 1 + cotg² = cosec²

Razones Trigonométricas de un Ángulo Cualquiera

sen = y / r     r² = x² + y²

cos = x / r

tg = y / x

Valores de las Funciones Trigonométricas en Ángulos Clave

• Ángulo 0: sen = 0, cos = 1, tg = 0
• Ángulo 90: sen = 1, cos = 0, tg = no definida
• Ángulo 180: sen = 0, cos = -1, tg = 0
• Ángulo 270: sen = -1, cos = 0, tg = no definida

Cuadrantes y Signos de las Funciones Trigonométricas

• sen o cosec = + en 1º, 2º; - en 3º, 4º
• cos o sec = + en 1º, 4º; - en 2º, 3º
• tg o cotg = + en 1º, 3º; - en 2º, 4º

Tabla de Valores Trigonométricos

Resolución de Triángulos Rectángulos

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

• A + B + C = 180º
• a² = b² + c²
• Funciones: sen, cos, tg

Identidades Trigonométricas

• sen(a + b) = sen a × cos b + cos a × sen b
• sen(a - b) = sen a × cos b - cos a × sen b
• cos(a + b) = cos a × cos b - sen a × sen b
• cos(a - b) = cos a × cos b + sen a × sen b
• tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a × tg b)
• tg(a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a × tg b)
• sen 2a = 2 × sen a × cos a
• cos 2a = cos² a - sen² a
• tg 2a = 2 × tg a / (1 - tg² a)
• sen(a/2) = ±√(1 - cos a) / 2
• cos(a/2) = ±√(1 + cos a) / 2
• tg(a/2) = ±√(1 - cos a) / (1 + cos a)

Teoremas de Seno y Coseno

• Teorema del Seno: a / sen a = b / sen b = c / sen c
• Teorema del Coseno: a² = b² + c² - 2ac × cos a

Ejercicios Prácticos

Ejercicio 1: 1 lado y 2 ángulos cualquiera (Teorema del Seno)

[Solución: suma de los 2 ángulos - 180º]

Ejercicio 2: 2 lados y 1 ángulo (Teorema del Coseno)

[Solución: 1 y única]

Ejercicio 3: 3 lados (2x Teorema del Coseno)

[Solución: única cuando la suma de dos lados sea mayor que el 3º]

Ejercicio 4: 2 lados y ángulo opuesto (Teorema del Seno) {a=12, b=32, c=40º}

[Solución: dos, una o ninguna] {ordenar de mayor a menor o al revés para ver si es verdad}

Propiedades de las Funciones Trigonométricas

• β y 90 - β: sen(90 - β) = cos β, cos(90 - β) = sen β, tg(90 - β) = cotg β
• β y 180 - β: sen(180 - β) = sen β, cos(180 - β) = -cos β, tg(180 - β) = -tg β
• β y 180 + β: sen(180 + β) = -sen β, cos(180 + β) = -cos β, tg(180 + β) = tg β
• β y 360 - β: sen(360 - β) = sen(-β) = -sen β, cos(360 - β) = cos(-β) = cos β, tg(360 - β) = tg(-β) = -tg β