Fundamentos de Vectores en 3D: Distancia, Ángulos y Perpendicularidad Espacial

Distancias y Ángulos en 3D

Dados dos puntos P=(a₁, a₂, a₃) y Q=(b₁, b₂, b₃), la existencia del vector diferencia nos permite definir:

Definición 4: Distancia entre Puntos

Se llama distancia entre P y Q a d(P,Q) = ||PQ|| = ||Q – P||.

Por ejemplo, tres puntos en 3D definen un triángulo en el espacio. Consideremos el siguiente:

Ejemplo 1: Cálculo de Distancias en un Triángulo 3D

Dados O=(0, 0, 0), P=(1, 0, 1) y Q=(0, 1, 1), las distancias de sus lados son:

• ||OP|| = sqrt((1-0)² + (0-0)² + (1-0)²) = sqrt(1² + 0² + 1²) = sqrt(2).
• Análogamente, ||OQ|| = sqrt(2).
• El tercer lado es ||PQ|| = sqrt((0-1)² + (1-0)² + (1-1)²) = sqrt((-1)² + 1² + 0²) = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2).

Dados tres puntos P, Q y R, es lógico llamar lados del triángulo plano que definen a tres de sus vectores. Si se toman en el orden: u₁ = PQ, u₂ = QR y u₃ = RP.

Entonces se verifica que su suma es el vector cero:

u₁ + u₂ + u₃ = (Q - P) + (R - Q) + (P - R) = Q - P + R - Q + P - R = 0.

Como u₁ + u₂ + u₃ = 0 ↔ -u₃ = u₁ + u₂, se tiene la siguiente caracterización:

Lema 1: Regla del Triángulo (o del Paralelogramo)

La condición para que tres vectores u₁, u₂, u₃ formen los lados de un triángulo es que su suma sea el vector cero. O bien, que uno de ellos sea igual a la suma de los otros dos.

Pero los triángulos en 3D también forman ángulos entre sus lados. Para medirlos, dados dos vectores u=(x₁, x₂, x₃) y v=(y₁, y₂, y₃), definimos:

Definición 5: Producto Escalar

El producto escalar de u y v es u · v = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃.

Definición 6: Ángulo entre Vectores

Dados dos vectores u=(x₁, x₂, x₃) y v=(y₁, y₂, y₃), el ángulo β entre u y v (donde 0 ≤ β ≤ 180°) es el único que verifica:

cos(β) = (u · v) / (||u|| · ||v||).

Esta definición de medida de un ángulo es independiente del sentido o signo del ángulo, ya que siempre resulta un ángulo positivo. Además, si se cambia uno de los vectores por un múltiplo positivo suyo, el ángulo resultante es el mismo. Esto se demuestra así:

((λ · u) · v) / (||λ · u|| · ||v||) = (λ · (u · v)) / (|λ| · ||u|| · ||v||)

Dado que λ > 0, |λ| = λ. Por lo tanto:

= (λ · (u · v)) / (λ · ||u|| · ||v||) = (u · v) / (||u|| · ||v||) = cos(β).

Perpendicularidad en 3D

Definición 7: Vectores Ortogonales

Decimos que dos vectores u y v son ortogonales (o u es perpendicular a v, denotado u ⊥ v) si el ángulo entre ellos es 90°. Equivalentemente, si u · v = ||u|| · ||v|| · cos(90°) = 0.

Como ||u + v||² = (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 1: Teorema de Pitágoras

u ⊥ v ↔ u · v = 0 ↔ ||u + v||² = ||u||² + ||v||².

Definición 8: Vector Unitario

Decimos que un vector u=(x₁, x₂, x₃) es unitario si ||u|| = 1.

Así, los vectores e₁=(1, 0, 0), e₂=(0, 1, 0) y e₃=(0, 0, 1) son ortogonales y unitarios. Esto se debe a que e_i · e_j = δ_ij, donde δ_ij es el delta de Kronecker, definido como:

δij = { 1 si i = j
          { 0 en caso contrario

Definición 9: Cosenos Directores

Llamamos cosenos directores del vector u=(x₁, x₂, x₃) a los cosenos de los ángulos entre el vector u y los vectores e₁, e₂, e₃ de la base canónica.

Como cos(α_i) = cos(u, e_i) = (u · e_i) / ||u|| = x_i / ||u|| = x_i / sqrt(x₁² + x₂² + x₃²), para i ∈ {1, 2, 3}, el vector de los cosenos directores, denotado û, es un múltiplo positivo de u:

û = (cos(α₁), cos(α₂), cos(α₃))

= (x₁/||u||, x₂/||u||, x₃/||u||)

= (1/||u||) · (x₁, x₂, x₃)

= (1/||u||) · u.

Despejando u de la expresión anterior, obtenemos u = ||u|| · û.

Tomando la norma en ambos lados: ||u|| = || ||u|| · û || = ||u|| · ||û||.

Dado que ||u|| no es cero (si u es un vector no nulo), podemos dividir por ||u||, lo que implica ||û|| = 1.

Elevando al cuadrado, se verifica que ||û||² = cos²(α₁) + cos²(α₂) + cos²(α₃) = 1.

Lema 2: Vector de Cosenos Directores Unitario

Hemos demostrado para cualquier vector u=(x₁, x₂, x₃) que el vector û = (cos(α₁), cos(α₂), cos(α₃)) es unitario. Como tiene norma uno, û a veces es llamado el vector normalizado de u.