Fundamentos de Vectores y Valores Propios: Teoría y Diagonalización de Endomorfismos

TEMA 4

Vectores y valores propios:

Definición Sea f : E-->E Un endomorfismo. - Se dice que λ ϵ R es un valor propio de f si, Existe eϵE Con e≠0, Tal que f(e)=λe. – Se dice que eϵE es un vector propio (o autovalor) asociado al valor propio λ Si f(e)=λe. Propiedades: Proposición: Sea f: E-->E endomorfismo. 1) λ es valor propio De f <-> f - λId : E-->E no es inyectiva. 2) λ es valor propio, el Conjunto de asociados a λ es un subespacio vectorial, que denotaremos por V(λ) . Además V(λ) = Ker (f - λId) .  3) Un Vector eϵE no nulo, no puede ser vector propio asociado a dos valores propios Diferentes. Demostración: 1) λ es v.P de f <-> Ǝe ≠ 0, f(e)=λe <-> (f-λId)(e)=0. λ es v.P de f <-> eϵKer (f-λId) <-> (f-λId) no es inyectiva. 3) e≠0,eϵV(λ)ꓵV(µ) -->f(e)=λe=µe-->λ=µ. Proposición Sea f : E-->E un endomorfismo: 1)  Si e1 y e2 son dos vectores no nulos, Asociados a valores propios λ1 y λ2 diferentes, entonces e1 y e2 son linealmente Independientes. 2) Si {e1, . . . , en} son n vectores no nulos, asociados a valores Propios λ1, . . . , λn diferentes, entonces {e1, . . . , en} son linealmente Independientes. Observción: Si f:E-->e es un endomorfismo, y dim E=n, Entonces f NO tiene más de n valores propios.

Polinomio carácterístico: (Ojo (P-1: Elevado a la -1).

Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n se llama polinomio carácterístico de A al polinomio: Cᴀ(x) = det(A - xId) = |A - x Id|. Proposición Si A y A’ son matrices semejantes Entonces tienen el mismo polinomio carácterístico. DemostraciónSi A y A’ son semejantes existe P no singular Tal que A’ = P-1AP . Entonces CA’ (x) = det (A’ - x Id) A’=P-1AP = det (P-1AP - x Id P-1P) = det (P-1(A - x Id)P) = det (P-1)det (A - x Id)det (P) det (P-1)=det (P)-1= det (A - x Id) = CA(x).

Definición Dada una matriz cuadrada de orden n se dice que λϵR es un valor propio de A, si λ es raíz de su polinomio carácterístico, es Decir Cᴀ(λ) = det (A - λId) = 0. Proposición Sea f : E--> E un endomorfismo, y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera. Entonces λ es valor propio de f , λ es valor propio de A. Demostración λ es v.P. De f<--> (f - λ Id) No es inyectiva<-->(f - λId) no es isomorfismo<-->det (A - λId) = 0<--> λ es v.P. De A.

Multiplicidad algebraica y geométrica:

Definición Sea λ un valor propio de f , entonces se definen: - Multiplicidad Geométrica de λ, Mg(λ) , a la dimensión del subespacio V(λ). - Multiplicidad Algebraica de λ, Ma(λ) a la multiplicidad de λ como raíz de Cᴀ(x).

Diagonalización de endomorfismos:

Definición: - Sea f : E-->E endomorfismo. Se dice que F es diagonalizable si existe una base en la que la matriz asociada a f es Diagonal. - Sea A matriz cuadrada, se dice que A es diagonalizable si A es Semejante a una matriz diagonal, es decir existen P regular y D diagonal tal Que D = P-1AP. Proposición Sea f : E-->E Un endomorfismo, y A su matriz asociada en una cierta base. Entonces: f es Diagonalizable <--> A es diagonalizable.

Teorema de diagonalización de endomorfismos:

-Teorema: Sea f : E--> un endomorfismo, con dim E = n, y A la Matriz asociada en cualquier base. Entonces f es diagonalizable 1) existe una Base de E formada por vectores propios de f.                              2) { Mg(λi)=Ma(λi).  Ma(λ1)+…+Ma(λp)=n.