Geodesia

1.-En el método de Bessel, demostrar la ecuación diferencial:

m : colatitud del punto C.

Del triángulo m₁n₁P₁:

Despejamos ‘dw’:

Tenemos que tener en cuenta que:

Sustituyendo:

Del triángulo B₁C₁P₁:

2.- En el método de Bessel demostrar la ecuación diferencial:

Partimos de:

Sabemos que:

Diferenciando  ‘senμ’:

Entonces:

De la expresión (II):

Sustituyendo en (III):

Multiplicando por ‘a’:

Igualando las expresiones (I) y (IV):

3.- En el método de Bessel justificar las expresiones diferenciales:

ELIPSOIDE: m, n, c

ESFERA: m₁, n₁, c₁

Elipsoide:

Esfera:

4.- En el método de Bessel, justificar las expresiones diferenciales:

5.- En el método de Bessel dibujar la figura sobre la esfera que permite integrar las ecuaciones diferenciales en el PRIMER y CUARTO cuadrante, indicando las variables que intervienen.

Para el problema INVERSO: da igual en el cuadrante en el que nos encontremos ya que conocemos las coordenadas de dos puntos y podemos establecer la dirección de la línea geodésica.

Para el problema DIRECTO: hay que tener en cuenta el cuadrante para definier las fórmulas, ya que la dirección nos viene impuesta al no conocer las coordenadas del punto final.ç

Primer cuadrante:

 Primer cuadrante:

C₁A₁=90°-M

C₁B₁=90°-(M+σ)

w=ángulo formado por el círculo que pasa por A y por B.

μ_A, μ_B= latitudes reducidas de los puntos A y B.

σ= distancia entre los puntos A y B.

σ: POSITIVA.

Cuarto cuadrante:

Cuarto cuadrante:

C₁A₁=90°-M

C₁B₁=90°-(M+σ)

w=ángulo formado por el círculo que pasa por A y por B.

μ_A, μ_B= latitudes reducidas de los puntos A y B.

σ= distancia entre los puntos A y B.

σ: POSITIVA.

6.-En el método de Bessel dibujar la figura sobre la esfera que permite integrar las ecuaciones diferenciales en el TERCER y SEGUNDO cuadrante, indicando las variables que se obtienen.

Segundo cuadrante:

Segundo cuadrante:

C₁A₁= 90°-M

C₁B₁=90°-(M-σ)

w=ángulo formado por el círculo que pasa por A y por B.

μ_A, μ_B= latitudes reducidas de los puntos A y B.

σ= distancia entre los puntos A y B.

σ: NEGATIVA.

Tercer cuadrante:

Tercer cuadrante:

C₁A₁= 90°-M

C₁B₁=90°-(M-σ)

w=ángulo formado por el círculo que pasa por A y por B.

μ_A, μ_B= latitudes reducidas de los puntos A y B.

σ= distancia entre los puntos A y B.

σ: NEGATIVA.

7.- En el método de Bessel dibujar el triángulo que se forma entre dos puntos A y B y el polo sobre el Elipsoide y sobre la Esfera indicando las variables que se obtienen.

            El método de Bessel se usa para resolver el problema geodésico para grandes distancias (600-800 km). Es un método de desarrollos en serie.

            El triángulo APB se traslada a la esfera según los tres elementos dados con ayuda de la ecuación fundamental de la línea geodésica.

ELIPSOIDE:

∆λ: diferencia de longitudes entre los puntos A y B sobre el elipsoide.

dλ: diferencia de longitudes entre los puntos m y n.

A_AB, A_BA: acimutes directo y recíproco.

α: Acimut del elemento ds.

ds: elemento infinitamente pequeño de la línea geodésica ‘s’ situado sobre el elipsoide.

ESFERA:

w: diferencia de longitudes entre los puntos A y B sobre la esfera.

dw: diferencia de longitudes entre los puntos m₁ y n₁.

A_AB, A_BA: acimutes directo y recíproco.

α: Acimut del elemento dσ.

dσ: elemento infinitamente pequeño de arcos del círculo máximo situado en la esfera, que se corresponde al elemento ‘ds’ situado sobre el elipsoide.

            Al pasar del elipsoide a la esfera se cumple:

Las latitudes geodésicas pasan a ser reducidas: .

Los acimutes se mantienen constantes.

La longitud ‘s’ se deforma: .

Entonces:

Los lados   y   , siendo  y  las latitudes reducidas y P un punto sobre la esfera.

Las distancias: ‘s’ línea geodésica AB à ‘σ’ arco de círculo máximo AB.

8.- En el método de Bessel enumerar los pasos para resolver el problema recíproco.

DATOS:

Coordenadas geodésicas de dos puntos (A, B). Datos del elipsoide de referencia.

INCÓGNITAS:

Acimut directo y recíproco. Distancia geodésica.

PASOS:

Cálculo de μA y μB.

Cálculo del valor de ‘w’ mediante un proceso iterativo:

-Primera iteración: aproximamos el valor de w a ∆λ=λ_A-λ_B.

Resolvemos los triángulos APB y PCA y obtenemos el valor de unos acimutes y una σ aproximados.

Con estos datos calculamos un nuevo valor de ‘w’ para utilizar en la segunda iteración:

Con el nuevo valor de ‘w’ resolvemos otra vez los triángulos esféricos APB y PCA.

Realizamos tantas iteraciones como sea necesario hasta que el valor de ‘w’ converja.

Con los últimos valores de la iteración calculamos la distancia geodésica ‘s’:

9.- En el método de Bessel enumerar los pasos para resolver el problema directo.

DATOS:

Coordenadas geodésicas de un punto A.

Distancia geodésica entre A y B.

Acimut .

INCÓGNITAS:

Coordenadas geodésicas del punto B. Acimut .

PASOS:

Cálculo de la altitud reducida del punto conocido A.

Resolución del triángulo esférico ABC (obtenemos M y m) mediante el teorema del seno y del coseno.

Cálculo de σ mediante un proceso iterativo:

Calcular los valores de A, B, C, k², α, , , que van a ser los mismos para todas las iteraciones.

Acordarse de pasar el valor de ρ a grados cuando el radio de la esfera local que pasa por A.

Acordarse de que:

Para la primera iteración:

Para la segunda iteración:

Para la tercera iteración:

Resolucion del triángulo esférico ABP (obtendremos μ_B, ángulo en B, w) mediante el teorema del coseno para que no  nos den soluciones erróneas.

Cálculo de λ_B:

Paso de la latitud reducida a la geodésica: