Geometría y Análisis de Funciones: Puntos, Rectas, Planos y Continuidad

Geometría y Análisis de Funciones

Puntos, Rectas y Planos

Alineación de tres puntos (A, B, C): Se verifica si los vectores AB y AC son proporcionales. Esto se hace comprobando si las razones (x2-x1)/(x3-x1), (y2-y1)/(y3-y1) y (z2-z1)/(z3-z1) son iguales. Si todas las razones son iguales, los puntos están alineados.

Punto medio (PM) de un segmento AB: PM = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Punto simétrico de A respecto a PM: B = PM + (PM - A)

Posiciones relativas de rectas

• Vectores directores proporcionales: Las rectas son paralelas o coincidentes.
• Coincidentes: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es el mismo.
• Paralelas: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es diferente.
• Vectores directores no proporcionales: Las rectas se cortan (determinante = 0) o se cruzan (determinante ≠ 0).

Posiciones relativas de dos planos

• Coincidentes: Todos los términos son proporcionales.
• Paralelos: Todos los términos son proporcionales, excepto el término independiente (D).
• Se cortan: No hay proporcionalidad entre los términos.

Posiciones relativas de recta y plano

• Producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano = 0: La recta es paralela o está contenida en el plano.
• Coincidente: Si al sustituir un punto de la recta en la ecuación del plano, la ecuación se cumple.
• Paralela: Si al sustituir un punto de la recta en la ecuación del plano, la ecuación no se cumple.
• Producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano ≠ 0: La recta y el plano se cortan.

Posiciones relativas de tres planos

• Rango(M) = Rango(M') = 1: Los tres planos son coincidentes.
• Rango(M) = Rango(M') = 2: Los tres planos se cortan en una recta, o dos son coincidentes y el tercero corta a ambos. (Si dos ecuaciones generales son iguales, es la segunda opción).
• Rango(M) = Rango(M') = 3: Los tres planos se cortan en un punto (son perpendiculares).
• Rango(M) ≠ Rango(M') = 2: Los tres planos son paralelos o dos son coincidentes (si dos son iguales, es la segunda opción).
• Rango(M) = 2 y Rango(M') = 3: Los planos se cortan dos a dos, o dos planos son paralelos y uno corta a ambos.

Ángulos

• Entre dos rectas: x = arcos(|u · v| / (|u| · |v|))
• Entre dos planos: Igual que entre rectas, pero usando los vectores normales.
• Entre recta y plano: x = arcsen(|v · n| / (|v| · |n|))

Continuidad y Discontinuidades

Continuidad: Una función es continua en un punto si:

1. La función está definida en ese punto.
2. Existe el límite de la función cuando x tiende a ese punto (por la derecha y por la izquierda, y ambos límites son iguales).
3. El valor de la función en el punto es igual al valor del límite.

Discontinuidades

• Evitable: Existe la función en el punto, existe el límite cuando x tiende al punto, pero no son iguales.
• Inevitable: No existe el límite cuando x tiende al punto.
  • Salto finito: El límite cuando x tiende al punto es un número.
  • Salto infinito: El límite cuando x tiende al punto es infinito.

Rectas Tangente y Normal

Recta tangente: y - f(a) = f'(a) · (x - a)

Recta normal: y - f(a) = -1/f'(a) · (x - a)

Representación de Funciones

• Dominio: Determinar el dominio de la función.
• Puntos de corte con los ejes: Calcular los puntos donde la función corta los ejes x e y.
• Simetría:
  • Par: f(-x) = f(x)
  • Impar: -f(x) = f(-x)
• Signo: Determinar los intervalos donde la función es positiva o negativa (donde se anula el dominio).
• Asíntotas:
  • Vertical: Límite de la función cuando x tiende a un valor donde la función tiende a infinito.
  • Horizontal: Límite de la función cuando x tiende a infinito es un número.
  • Oblicua: Calcular m = lim (x→∞) f(x)/x y n = lim (x→∞) f(x) - mx.
• Monotonía: Calcular f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos y determinar dónde la función crece o decrece (máximos y mínimos).
• Curvatura: Calcular f''(x) = 0 para determinar los puntos de inflexión y los intervalos donde la función es cóncava o convexa.