Geometría Analítica en el Espacio: Posiciones Relativas, Ángulos y Distancias

Estudio del Rango y Posiciones Relativas en el Espacio

El rango de una matriz es fundamental para determinar la configuración geométrica. Cuando el determinante es igual a 0, se le resta 1 al número de filas; por ejemplo, si tenemos 3 filas horizontales y el determinante es nulo, el rango se queda en R:2.

Posiciones Relativas de Tres Planos

• a) Corte en un punto: Se produce cuando el rango es igual a 3.
• b) Corte en una recta: Se produce cuando el rango es igual a 2. Para calcular la ecuación de dicha recta, se utiliza el producto vectorial de los vectores normales (i, j, k) para obtener el vector director (vd). Después, se puede hacer x = 0 para obtener un sistema de dos rectas y resolverlo para hallar un punto. La ecuación vectorial resultante será (x, y, z) = punto + lambda · (vd).
• c) Planos paralelos: Si los rangos resultantes son 1 y 2, los planos son paralelos.

Posiciones Relativas de Dos Rectas

• a) Rectas que se cortan: Si el determinante formado por los dos vectores directores (vd) y el vector que une los dos puntos (vn) es igual a 0, las rectas se cortan (el determinante se calcula colocando cada vector en vertical). Para hallar el punto de corte, se deben expresar las rectas en su forma paramétrica.
• b) Rectas paralelas: Si los dos vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas (//).

Posiciones Relativas de una Recta y un Plano

Para determinar la relación, se analiza el rango del sistema:

• Si el rango es 3, la recta y el plano se cortan en un punto.
• Si los rangos son 2 y 3, la recta y el plano son paralelos.
• Si el rango es 2, la recta está contenida en el plano.

Para determinar el punto de corte, se pasa la recta a su forma paramétrica y se sustituye en la ecuación del plano para hallar el valor de lambda. Posteriormente, se sustituye dicho valor en la recta para obtener las coordenadas del punto.

Cálculo de Ángulos en R3

• a) Entre dos planos: Se calcula mediante el coseno: cos(π, π') = |(A, B, C) · (A', B', C')| dividido por el producto de las raíces de la suma de sus componentes al cuadrado (módulos).
• b) Entre recta y plano: Primero se obtiene el vector director (vd) de la recta mediante el determinante i, j, k. Luego, usando el vector normal (vn) del plano, se calcula cos(n, u) = |A·u₁ + B·u₂ + C·u₃| dividido por el producto de las raíces de (A² + B² + C²) y (u₁² + u₂² + u₃²).
• c) Entre dos rectas: Utilizando los vectores directores de ambas, se realiza el producto escalar de vd₁ · vd₂ dividido por el producto de los módulos (raíz de los componentes al cuadrado) de cada vector director.

Cálculo de Distancias y Métricas

• a) Distancia entre dos puntos P y Q: D(p, q) = √[(x - x')² + (y - y')² + (z - z')²].
• b) Distancia de un punto a un plano: D(π, pto) = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²).
• c) Distancia entre dos planos paralelos: Se calcula el vector perpendicular al segundo plano mediante el producto vectorial (i, j, k) de sus vectores (esto aplica si el plano viene dado en forma paramétrica por un punto y dos vectores). Después, se calcula la distancia entre el punto del segundo plano y el primer plano.
• d) Distancia de un punto a una recta: Se obtiene mediante el módulo del producto vectorial del vd de la recta por el vector formado por el punto dado y un punto de la recta, dividido por el módulo del vd.
• e) Distancia entre dos rectas que se cruzan: Se calcula mediante el valor absoluto del producto mixto de los dos vectores directores y el vector unión de dos puntos (uno de cada recta), dividido por el módulo del producto vectorial de los vectores directores (|vd₁ x vd₂|).

Casos Especiales y Volúmenes

Para calcular la ecuación de la recta que pasa por un punto y toca a otras dos rectas, sustituimos el punto en las ecuaciones de las dos rectas; de cada una surgirá un plano. La intersección de estos dos planos define la recta buscada.

Áreas y Volúmenes

• Área de un triángulo: 1/2 · |AB x AC|, calculado mediante el determinante i, j, k.
• Volumen del tetraedro (ABCD): 1/6 · |det(AB, AC, AD)|.