Geometría Analítica en el Espacio: Vectores, Rectas y Planos

Productos Vectoriales y sus Aplicaciones Geométricas

Producto Escalar

El Producto Escalar se define como: A · B = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Una propiedad fundamental es la condición de perpendicularidad: A ⊥ B ⇔ A · B = 0 (ángulo de 90º).

Producto Vectorial

El Producto Vectorial se calcula mediante el determinante de los vectores unitarios i, j, k y las componentes de los vectores A (a₁, a₂, a₃) y B (b₁, b₂, b₃):

A x B = C, donde el resultado es un vector C = (c₁, c₂, c₃) = c₁i + c₂j + c₃k.

• Propiedades: El vector resultante C es perpendicular a ambos vectores originales: C ⊥ B y C ⊥ A.
• Interpretación Geométrica: El módulo |C| = √(c₁² + c₂² + c₃²) representa el Área del Paralelogramo formado por los vectores.
• Área del Triángulo: Es igual a ½ del Área del Paralelogramo.

Producto Mixto

El Producto Mixto [A, B, C] se calcula mediante el determinante de las componentes de los tres vectores:

| a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ | = Número Real = Volumen del Paralelepípedo.
| a₃ b₃ c₃ |

• Volumen del Tetraedro: Es igual a 1/6 del Volumen del Paralelepípedo.
• Dependencia Lineal: Si el producto mixto es igual a 0, los vectores A, B y C son Linealmente Dependientes (L.D.).

Ecuaciones de la Recta y el Plano

La Recta

Definida por un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director V(v₁, v₂, v₃):

• Ecuación Vectorial: r = (a₁, a₂, a₃) + λ(v₁, v₂, v₃)
• Ecuaciones Paramétricas:
  • x = a₁ + λv₁
  • y = a₂ + λv₂
  • z = a₃ + λv₃
• Ecuación Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

El Plano

Definido por un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores V y U:

Ecuación Vectorial: π = (a₁, a₂, a₃) + λ(v₁, v₂, v₃) + μ(u₁, u₂, u₃)

Ecuaciones Paramétricas:

• x = a₁ + λv₁ + μu₁
• y = a₂ + λv₂ + μu₂
• z = a₃ + λv₃ + μu₃

Ecuación General o Implícita: Se obtiene resolviendo el determinante igualado a cero, considerando un punto genérico B(x, y, z) y el vector AB como combinación lineal de U y V:

| x - a₁ v₁ u₁ |
| y - a₂ v₂ u₂ | = 0
| z - a₃ v₃ u₃ |

Cálculo de Distancias

Distancia entre Punto y Punto

Dados los puntos A y B: D(A, B) = √[(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²] (en Unidades Métricas).

Distancia entre Punto y Recta

Dado un punto P y una recta R con punto Q y vector director r:
D(P, R) = |QP x r| / |r|, donde QP es el vector entre el punto Q de la recta y el punto P.

Distancia entre Recta y Recta

Dadas dos rectas con vectores directores U y V:
D(U, V) = |[AA', U, V]| / |V x U|, donde AA' es el vector formado por puntos de ambas rectas.

Distancia entre Plano y Punto

Dado un plano π: Ax + By + Cz + D = 0 y un punto P(p₁, p₂, p₃):
D(P, π) = |A·p₁ + B·p₂ + C·p₃ + D| / √(A² + B² + C²)

Distancia entre Plano y Recta

Si la recta R es paralela al plano π, la distancia es igual a la de cualquier punto P de la recta al plano: D(R, π) = D(P, π).

Distancia entre Plano y Plano

Para dos planos paralelos π y π':
D(π, π') = |D - D'| / √(A² + B² + C²)

Simetría y Ángulos

Simetría de Puntos

Si Q es el punto medio entre P(p₁, p₂, p₃) y su simétrico P'(p₁', p₂', p₃'):
Q = ((p₁' + p₁) / 2, (p₂' + p₂) / 2, (p₃' + p₃) / 2)

Cálculo de Ángulos

• Entre dos rectas (vectores U y V): cos(α) = |u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃| / (|U| · |V|). El ángulo es α = arc cos(...).
• Entre dos planos (vectores normales A y A'): cos(α) = |A·A' + B·B' + C·C'| / (|n| · |n'|). El ángulo es α = arc cos(...).
• Entre plano y recta (vector director V y normal A): sen(α) = |v₁·A + v₂·B + v₃·C| / (|V| · |n|). El ángulo es α = arc sen(...).

Relaciones de Posición

Respecto a una Recta r

• Paralela (//): Tiene la misma dirección que r.
• Perpendicular (⊥): El producto escalar de sus vectores es 0.
• Paralela a un Plano: El producto escalar entre el vector director de la recta y el normal del plano (A, B, C) es 0.
• Perpendicular a un Plano: El vector director de la recta es proporcional al normal del plano (A, B, C).

Respecto a un Plano π

• Paralelo a una recta: El vector normal es perpendicular al director de la recta.
• Perpendicular a una recta: El vector normal (A, B, C) coincide con el director de la recta (v₁, v₂, v₃).
• Planos Paralelos: Tienen coeficientes A, B, C proporcionales pero distinto término D.
• Planos Perpendiculares: El vector (A, B, C) de uno es una de las direcciones contenidas en el otro.
• Contener a una recta: El plano debe cumplir las condiciones de punto y dirección de la recta.

Identidades Notables

Recordatorio algebraico:
(a + b)² = a² + b² + 2ab
(a - b)² = a² + b² - 2ab