Geometría Diferencial: Curvas y Superficies — Tangentes, Taylor y Cálculos

BLOQUE 2: Geometría Diferencial

Teoría

Problema 1

Enunciado:

Dada una curva expresada en \(\mathbb{R}^2\) de forma implícita:

2x^2 - 8x + y^2 - 4 = 0

a) Forma paramétrica

Despejando y^2 se obtiene:

y^2 = -2x^2 + 8x + 4.

Una parametrización estándar es tomar x = t y

• y(t) = +\sqrt{-2t^2 + 8t + 4} (rama positiva),
• o y(t) = -\sqrt{-2t^2 + 8t + 4} (rama negativa).

Por tanto, una forma paramétrica completa es

r(t) = (t, \pm\sqrt{-2t^2 + 8t + 4}), definida para los valores de t que hacen que el radicando sea no negativo.

Problema 2

Enunciado:

Dada la curva en \(\mathbb{R}^3\) expresada en forma paramétrica:

r(t) = (t+2,\; t^3,\; \sin t)

a) Vector tangente r'(t) en un punto cualquiera y ecuación del plano y de la recta tangente a la curva en P = r(0)

Derivadas:

• r'(t) = (1,\; 3t^2,\; \cos t)
• r''(t) = (0,\; 6t,\; -\sin t)
• r'''(t) = (0,\; 6,\; -\cos t)

Evaluando en t = 0:

• r(0) = (2,\; 0,\; 0)
• r'(0) = (1,\; 0,\; 1)

Recta tangente en P:

La ecuación vectorial de la recta tangente en P = r(0) es

r_{tg,P}(\lambda) = r(0) + \lambda\, r'(0) = (2,0,0) + \lambda(1,0,1).

Plano relacionado (forma estándar):

Si se desea un plano cuya normal sea r'(0) (es decir, el plano perpendicular al vector tangente), la ecuación puede escribirse como

((x,y,z) - r(0)) \cdot r'(0) = 0,

es decir,

(x-2,\; y,\; z) \cdot (1,\; 0,\; 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-2) + z = 0.

b) Desarrollo de Taylor de orden 3 en P = r(0)

Usando la fórmula vectorial de Taylor centrada en t=0 hasta grado 3:

r(t) \approx r(0) + t\,r'(0) + \dfrac{t^2}{2!} r''(0) + \dfrac{t^3}{3!} r'''(0).

Con las derivadas evaluadas en 0:

• r(0) = (2,0,0)
• r'(0) = (1,0,1)
• r''(0) = (0,0,0)
• r'''(0) = (0,6,-1)

Por tanto, el desarrollo hasta orden 3 es

r(t) \approx (2,0,0) + t(1,0,1) + \dfrac{t^2}{2}(0,0,0) + \dfrac{t^3}{6}(0,6,-1).

Realizando la suma vectorial:

r(t) \approx (2 + t,\; t^3,\; t - \tfrac{t^3}{6}).

Problema 3

Enunciado:

Dada la superficie en \(\mathbb{R}^3\):

S(u,v) = (4\cos u,\; u + v,\; 4\sin u)

a) Calcular los vectores \(\partial S/\partial u\), \(\partial S/\partial v\), el vector normal \(N\) y los coeficientes de la primera forma fundamental

Derivadas parciales:

• S_u(u,v) = \dfrac{\partial S}{\partial u} = (-4\sin u,\; 1,\; 4\cos u)
• S_v(u,v) = \dfrac{\partial S}{\partial v} = (0,\; 1,\; 0)

Vector normal (producto vectorial):

N = S_u \times S_v = (-4\cos u,\; 0,\; -4\sin u) (según el orden tomado).

La norma de N es

\|N\| = \sqrt{(-4\cos u)^2 + 0^2 + (-4\sin u)^2} = \sqrt{16(\cos^2 u + \sin^2 u)} = 4.

Coeficientes de la primera forma fundamental:

• E = S_u \cdot S_u = (-4\sin u)^2 + 1^2 + (4\cos u)^2 = 16(\sin^2 u + \cos^2 u) + 1 = 17.
• F = S_u \cdot S_v = (-4\sin u)\cdot 0 + 1\cdot 1 + (4\cos u)\cdot 0 = 1.
• G = S_v \cdot S_v = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1.

b) Longitud de la curva definida por S(t,2t), con t \in (0,\; \pi/2)

Primero sustituimos u = t, v = 2t en S(u,v):

r(t) = S(t,2t) = (4\cos t,\; 3t,\; 4\sin t).

Derivando:

r'(t) = (-4\sin t,\; 3,\; 4\cos t).

La norma es

\|r'(t)\| = \sqrt{16\sin^2 t + 9 + 16\cos^2 t} = \sqrt{16(\sin^2 t + \cos^2 t) + 9} = \sqrt{25} = 5.

Por tanto, la longitud es

L = \int_0^{\pi/2} 5\,dt = 5\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}.

Los puntos extremos son:

• P = r(0) = (4,\; 0,\; 0)
• Q = r(\pi/2) = (0,\; 3\pi/2,\; 4)

c) Calcular el área del recinto

El área del recuadro paramétrico \(u \in (0,\pi/4),\; v \in (2,5)\) se obtiene integrando la norma de N sobre el dominio:

\text{Área} = \iint_{D} \|N(u,v)\|\, du\, dv = \iint_{D} 4\, du\, dv.

Calculando la integral doble:

\text{Área} = 4 \cdot \big(\dfrac{\pi}{4} - 0\big) \cdot (5 - 2) = 4 \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot 3 = 3\pi.

Observación: En los desarrollos se ha corregido la notación, la ortografía y se han completado expresiones (como la rama negativa en el problema 1). Los resultados numéricos y las expresiones vectoriales se han presentado de forma explícita para facilitar su lectura y verificación.