Geometría en el Espacio: Conceptos y Ejercicios Resueltos

1. Posición relativa de una recta y un plano

Recta contenida en un plano

Para determinar si una recta está contenida en un plano, podemos verificar si dos puntos de la recta pertenecen al plano. Si ambos puntos satisfacen la ecuación del plano, entonces la recta está contenida en él.

Ejemplo

Determinar si la recta r, definida por las ecuaciones paramétricas x = 1 + 4t, y = -1 + t, z = t, está contenida en el plano π: x + 3y - z + 3 = 0.

Solución

Primero, encontramos dos puntos de la recta r. Podemos tomar t = 0 y t = 1:

• Para t = 0: P(1, -1, 0)
• Para t = 1: Q(5, 0, 1)

Ahora, verificamos si estos puntos satisfacen la ecuación del plano π:

• Para P(1, -1, 0): 1 + 3(-1) - 0 + 3 = 1. El punto P pertenece al plano.
• Para Q(5, 0, 1): 5 + 3(0) - 1 + 3 = 7. El punto Q no pertenece al plano.

Como el punto Q no pertenece al plano, la recta r no está contenida en el plano π.

2. Ecuaciones de un plano

Un plano en el espacio tridimensional se puede definir de varias maneras:

a) Plano que pasa por un punto y tiene un vector normal dado

Si un plano pasa por un punto P₀(x₀, y₀, z₀) y tiene un vector normal n = (a, b, c), entonces su ecuación general es:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Ejemplo

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el origen (0, 0, 0) y tiene un vector normal n = (1, 1, 1).

Solución

Sustituyendo P₀ = (0, 0, 0) y n = (1, 1, 1) en la ecuación general, obtenemos:

1(x - 0) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0

Simplificando, la ecuación del plano es:

x + y + z = 0

b) Plano que pasa por un punto y tiene un vector director paralelo a una recta

Si un plano pasa por un punto P₀(x₀, y₀, z₀) y tiene un vector director v paralelo a una recta r, entonces su ecuación se puede obtener de la siguiente manera:

1. Encontrar el vector director v de la recta r.
2. Utilizar la ecuación del plano que pasa por un punto y tiene un vector normal dado, donde el vector normal es el vector director v.

c) Plano que contiene a un punto y a una recta

Si un plano contiene a un punto P y a una recta r, entonces su ecuación se puede obtener de la siguiente manera:

1. Encontrar un punto Q en la recta r.
2. Calcular el vector PQ.
3. Encontrar el vector director v de la recta r.
4. Utilizar la ecuación del plano que pasa por un punto y tiene dos vectores directores, donde los vectores directores son PQ y v.

3. Posición relativa de dos rectas

Para determinar la posición relativa de dos rectas en el espacio, podemos seguir estos pasos:

1. Comparar los vectores directores:
   1. Si los vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes.
   2. Si los vectores directores no son proporcionales, las rectas se cruzan o se cortan.
2. Si las rectas son paralelas o coincidentes:
   1. Verificar si un punto de una recta pertenece a la otra recta. Si es así, las rectas son coincidentes. Si no, son paralelas.
3. Si las rectas se cruzan o se cortan:
   1. Expresar las rectas como la intersección de dos planos.
   2. Formar un sistema de ecuaciones con las cuatro ecuaciones de los planos.
   3. Estudiar el rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada:
      1. Si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz ampliada e igual a 2, las rectas son coincidentes.
      2. Si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz ampliada e igual a 3, las rectas se cortan en un punto.
      3. Si el rango de la matriz del sistema es 3 y el rango de la matriz ampliada es 4, las rectas se cruzan.

4. Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo entre una recta y un plano se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

cos(β) = |v ⋅ n| / (||v|| ||n||)

donde:

• v es el vector director de la recta.
• n es el vector normal del plano.
• ⋅ denota el producto escalar.
• ||v|| y ||n|| son las magnitudes de los vectores v y n, respectivamente.
• β es el ángulo entre la recta y el plano.

Para obtener el ángulo α entre la recta y la dirección perpendicular al plano, se utiliza la siguiente relación:

α = 90° - β

5. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto P a una recta r se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

d(P, r) = ||v × AP|| / ||v||

donde:

• v es el vector director de la recta.
• A es un punto cualquiera de la recta.
• AP es el vector que va desde el punto A hasta el punto P.
• × denota el producto vectorial.
• ||v × AP|| es la magnitud del vector v × AP.
• ||v|| es la magnitud del vector v.

6. Distancia mínima entre dos rectas que se cruzan

La distancia mínima entre dos rectas r y s que se cruzan se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

d(r, s) = |AB ⋅ (u × v)| / ||u × v||

donde:

• A es un punto cualquiera de la recta r.
• B es un punto cualquiera de la recta s.
• AB es el vector que va desde el punto A hasta el punto B.
• u es el vector director de la recta r.
• v es el vector director de la recta s.
• ⋅ denota el producto escalar.
• × denota el producto vectorial.
• ||u × v|| es la magnitud del vector u × v.

7. Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por un punto P y corta a dos rectas r y s, podemos seguir estos pasos:

1. Encontrar un punto Q en la recta r.
2. Calcular el vector PQ.
3. Encontrar el vector director u de la recta r.
4. Utilizar la ecuación del plano que pasa por un punto y tiene dos vectores directores, donde los vectores directores son PQ y u. Este plano contiene al punto P y a la recta r.
5. Encontrar la intersección entre el plano obtenido en el paso anterior y la recta s. Este punto de intersección, junto con el punto P, definen la recta buscada.