Geometría en el Espacio: Posición Relativa, Distancias y Ecuaciones de Rectas y Planos

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Posición Relativa de Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Caso 1: Rectas dadas por un punto y un vector

Para determinar la posición relativa de dos rectas dadas por un punto y un vector director, se construye la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*).

  • Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
  • Secantes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
  • Paralelas: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
  • Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M*) = 3

Caso 2: Rectas dadas en forma implícita

Si las rectas vienen dadas en forma implícita, se consideran sus matrices (M y M*):

  • Coincidentes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
  • Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
  • Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
  • Se cruzan: rango(M) = 3, rango(M*) = 4

Posición Relativa de Recta y Plano

Para determinar la posición relativa de una recta y un plano, se utilizan las matrices de coeficientes (M) y ampliada (M*):

  • Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
  • Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
  • Recta contenida en el plano: rango(M) = 2, rango(M*) = 2

Posición Relativa de Dos Planos

Para determinar la posición relativa de dos planos, se consideran sus matrices M y M*:

  • Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
  • Se cortan: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
  • Paralelos: rango(M) = 1, rango(M*) = 2

Posición Relativa de Tres Planos

Para determinar la posición relativa de tres planos, se consideran sus matrices (M y M*):

  • Se cortan en un punto: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
  • No tienen ningún punto en común: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
  • Planos no coincidentes que se cortan en una recta: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
  • Tres planos que tienen en común una recta: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
  • Tres planos paralelos: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
  • Tres planos coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1

Cálculo de Distancias en Geometría

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto P(x₀, y₀, z₀) a un plano π: Ax + By + Cz + D = 0 se calcula mediante la fórmula:

d(π, P) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Distancia entre Dos Planos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se elige un punto (P) de uno de ellos y se calcula la distancia de este punto al segundo plano, sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación del segundo plano y aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

Distancia de un Punto (P) a una Recta (r)

Para calcular la distancia de un punto P a una recta r, se utiliza la fórmula específica de distancia de un punto a una recta, que generalmente implica el uso de vectores directores y puntos de la recta.

Distancia entre Dos Rectas (r, s)

Para calcular la distancia entre dos rectas (r y s), se puede elegir un punto de la primera recta (r) y aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, o bien utilizar fórmulas específicas para la distancia entre rectas paralelas o que se cruzan.

Distancia entre Plano (π) y Recta (r)

Si el plano y la recta r son paralelos, la distancia se calcula hallando un punto P(x, y, z) de la recta r. La distancia d(π, r) es igual a la distancia de este punto P al plano π:

d( ) =

Donde A, B, C son los coeficientes del plano, D es el término independiente, y x, y, z son las coordenadas del punto P hallado de la recta. Se sustituyen estos valores en la fórmula.

Ecuaciones Fundamentales en Geometría

Ecuación de la Recta

  • Vectorial: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + λ(v₁, v₂, v₃)
  • Paramétrica:
    • X = x₁ + λv₁
    • Y = y₁ + λv₂
    • Z = z₁ + λv₃
  • Continua: (X - x₁) / v₁ = (Y - y₁) / v₂ = (Z - z₁) / v₃
  • Implícitas:
    • (X - x₁)v₂ = (Y - y₁)v₁
    • (Y - y₁)v₃ = (Z - z₁)v₂

Ecuación del Plano

  • Vectorial: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(v₁, v₂, v₃) + μ(w₁, w₂, w₃)
  • Paramétrica:
    • X = x₁ + λv₁ + μw₁
    • Y = y₁ + λv₂ + μw₂
    • Z = z₁ + λv₃ + μw₃
  • Implícita:

Determinación de Planos

Plano formado por 3 puntos (A, B, C)

El plano se determina si el determinante de los vectores formados por estos puntos es igual a 0:

det( ) = 0

Plano formado por una recta (r) y un punto exterior (B)

El plano se determina si el determinante de la matriz formada por el vector director de la recta y los vectores que unen el punto exterior con un punto de la recta es igual a 0:

det( ) = 0

Plano formado por dos rectas secantes

El plano que contiene a dos rectas secantes se determina si el determinante de la matriz formada por sus vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es igual a 0:

det( ) = 0

Además, para que las rectas sean secantes, se deben cumplir las siguientes condiciones de rango:

  • Si rango( ) = 2 y rango( ) = 2, las rectas son secantes.
  • Si rango( ) = 1 y rango( ) = 2, las rectas r y s son paralelas.

Si las rectas son paralelas, el plano que las contiene existe si el determinante de la matriz formada por un vector director y los vectores que unen un punto de cada recta es igual a 0: det( ) = 0.

Plano que contiene a una recta (r) y es paralelo a otra (s)

El plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s se determina si el determinante de la matriz formada por el vector director de r, el vector director de s y el vector que une un punto de r con un punto genérico del plano es igual a 0:

det( ) = 0.

Para ello, se construye la matriz del plano y se iguala su determinante a 0.

Operaciones con Vectores

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores, u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃), se define como:

= | | ⋅ | | ⋅ cos α

Donde α es el ángulo entre los vectores. En coordenadas, el producto escalar es:

uv = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

La magnitud de un vector u = (x, y, z) es | | = .

Vectores Paralelos

Dos vectores u = (x, y, z) y v = (x', y', z') son paralelos si sus componentes son proporcionales:

x/x' = y/y' = z/z'

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