Geometría en el Espacio: Posición Relativa, Distancias y Ecuaciones de Rectas y Planos
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Posición Relativa de Elementos Geométricos
Posición Relativa de Dos Rectas
Caso 1: Rectas dadas por un punto y un vector
Para determinar la posición relativa de dos rectas dadas por un punto y un vector director, se construye la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*).
- Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
- Secantes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
- Paralelas: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
- Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
Caso 2: Rectas dadas en forma implícita
Si las rectas vienen dadas en forma implícita, se consideran sus matrices (M y M*):
- Coincidentes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
- Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
- Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
- Se cruzan: rango(M) = 3, rango(M*) = 4
Posición Relativa de Recta y Plano
Para determinar la posición relativa de una recta y un plano, se utilizan las matrices de coeficientes (M) y ampliada (M*):
- Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
- Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
- Recta contenida en el plano: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
Posición Relativa de Dos Planos
Para determinar la posición relativa de dos planos, se consideran sus matrices M y M*:
- Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
- Se cortan: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
- Paralelos: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
Posición Relativa de Tres Planos
Para determinar la posición relativa de tres planos, se consideran sus matrices (M y M*):
- Se cortan en un punto: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
- No tienen ningún punto en común: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
- Planos no coincidentes que se cortan en una recta: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
- Tres planos que tienen en común una recta: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
- Tres planos paralelos: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
- Tres planos coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
Cálculo de Distancias en Geometría
Distancia de un Punto a un Plano
La distancia de un punto P(x₀, y₀, z₀) a un plano π: Ax + By + Cz + D = 0 se calcula mediante la fórmula:
d(π, P) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Distancia entre Dos Planos
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se elige un punto (P) de uno de ellos
y se calcula la distancia de este punto al segundo plano, sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación del segundo plano y aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
Distancia de un Punto (P) a una Recta (r)
Para calcular la distancia de un punto P a una recta r, se utiliza la fórmula específica de distancia de un punto a una recta, que generalmente implica el uso de vectores directores y puntos de la recta.
Distancia entre Dos Rectas (r, s)
Para calcular la distancia entre dos rectas (r y s), se puede elegir un punto de la primera recta (r) y aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, o bien utilizar fórmulas específicas para la distancia entre rectas paralelas o que se cruzan.
Distancia entre Plano (π) y Recta (r)
Si el plano
y la recta r son paralelos, la distancia se calcula hallando un punto P(x, y, z) de la recta r. La distancia d(π, r) es igual a la distancia de este punto P al plano π:
d(
) =
Donde A, B, C son los coeficientes del plano, D es el término independiente, y x, y, z son las coordenadas del punto P hallado de la recta. Se sustituyen estos valores en la fórmula.
Ecuaciones Fundamentales en Geometría
Ecuación de la Recta
- Vectorial: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + λ(v₁, v₂, v₃)
- Paramétrica:
- X = x₁ + λv₁
- Y = y₁ + λv₂
- Z = z₁ + λv₃
- Continua: (X - x₁) / v₁ = (Y - y₁) / v₂ = (Z - z₁) / v₃
- Implícitas:
- (X - x₁)v₂ = (Y - y₁)v₁
- (Y - y₁)v₃ = (Z - z₁)v₂
Ecuación del Plano
- Vectorial: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(v₁, v₂, v₃) + μ(w₁, w₂, w₃)
- Paramétrica:
- X = x₁ + λv₁ + μw₁
- Y = y₁ + λv₂ + μw₂
- Z = z₁ + λv₃ + μw₃
- Implícita:
Determinación de Planos
Plano formado por 3 puntos (A, B, C)
El plano se determina si el determinante de los vectores formados por estos puntos es igual a 0:
det(
) = 0
Plano formado por una recta (r) y un punto exterior (B)
El plano se determina si el determinante de la matriz formada por el vector director de la recta y los vectores que unen el punto exterior con un punto de la recta es igual a 0:
det(
) = 0
Plano formado por dos rectas secantes
El plano que contiene a dos rectas secantes se determina si el determinante de la matriz formada por sus vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es igual a 0:
det(
) = 0
Además, para que las rectas sean secantes, se deben cumplir las siguientes condiciones de rango:
- Si rango(
) = 2 y rango(
) = 2, las rectas son secantes.
- Si rango(
) = 1 y rango(
) = 2, las rectas r y s son paralelas.
Si las rectas son paralelas, el plano que las contiene existe si el determinante de la matriz formada por un vector director y los vectores que unen un punto de cada recta es igual a 0: det(
) = 0.
Plano que contiene a una recta (r) y es paralelo a otra (s)
El plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s se determina si el determinante de la matriz formada por el vector director de r, el vector director de s y el vector que une un punto de r con un punto genérico del plano es igual a 0:
det(
) = 0.
Para ello, se construye la matriz del plano y se iguala su determinante a 0.
Operaciones con Vectores
Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores, u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃), se define como:
= |
| ⋅ |
| ⋅ cos α
Donde α es el ángulo entre los vectores. En coordenadas, el producto escalar es:
u ⋅ v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
La magnitud de un vector u = (x, y, z) es |
| =
.
Vectores Paralelos
Dos vectores u = (x, y, z) y v = (x', y', z') son paralelos si sus componentes son proporcionales:
x/x' = y/y' = z/z'