Geometría Inversa: Explorando Puntos, Rectas y Circunferencias

Determinación de Puntos Inversos

Caso 1: Dado el Centro de Inversión y un Par de Puntos Inversos

Para determinar el punto inverso de B, dados el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A y A':

1. Trazar las mediatrices de los segmentos A-A' y A-B.
2. El punto de intersección de las mediatrices es el centro de la circunferencia buscada.
3. Unir B con el Centro de Inversión O para obtener B', el punto inverso de B sobre la circunferencia.

Caso 2: Dado el Centro de Inversión y el Valor de Inversión

Para determinar el punto inverso de A, dados el Centro de Inversión O y el valor de inversión OT:

1. Dibujar una circunferencia de radio OT con centro en O (Circunferencia de Puntos Dobles).
2. Tomar un punto T cualquiera de la circunferencia.
3. Trazar la mediatriz del segmento A-T y la tangente a la circunferencia por T.
4. La intersección de ambas rectas es el centro C de una circunferencia de radio C-T que contiene el inverso de A.
5. Unir O con A para encontrar el punto inverso sobre la circunferencia.

Caso 3: Dados Dos Pares de Puntos Inversos

Para determinar el punto inverso de D, dados dos pares de puntos inversos A, A' y B, B':

1. La intersección de las rectas A-A' y B-B' es el Centro de Inversión O.
2. Dibujar la circunferencia que pasa por A, A' y D.
3. Unir O con D para obtener D', el punto inverso de D sobre la circunferencia.

Inversas de Rectas y Circunferencias

1. Recta que Pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión es la misma recta.

2. Recta que No Pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión es una circunferencia que sí pasa por el Centro de Inversión.

1. Dibujar la perpendicular a la recta dada que pase por el Centro de Inversión (esta recta contendrá el centro de la circunferencia inversa).
2. Tomar un punto B de la recta y encontrar su inverso B'.
3. Dibujar la mediatriz de O-B' para determinar el centro de la circunferencia inversa. El radio será O-B'.

3. Circunferencia que Pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión es una recta que no pasa por el Centro de Inversión.

1. Dibujar la recta O-C (donde C es el centro de la circunferencia).
2. La recta inversa será perpendicular a O-C y pasará por A' (el inverso de A).

4. Circunferencia que No Pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión es otra circunferencia homotética a la primera.

1. Unir el centro de la circunferencia con el Centro de Inversión (esta recta contendrá el centro de la circunferencia inversa).
2. Dibujar la tangente a la circunferencia desde el Centro de Inversión y encontrar los puntos de tangencia T.
3. Hallar el inverso T' del punto de tangencia T.
4. Trazar una perpendicular a la recta O-T por T' para definir el centro de la circunferencia inversa.

5. Circunferencia que Pasa por un Par de Puntos Inversos

La inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos es inversa de sí misma.