Geometría Plana: Conceptos Fundamentales y Transformaciones

Geometría Plana

Rectas y Segmentos

Se denomina recta a una sucesión ilimitada de puntos en la misma dirección; una semirrecta es una recta limitada en uno de sus extremos; y se llama segmento a la parte de recta limitada por dos puntos.

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90°.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento trazada por su punto medio.

La mediatriz es un lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.

Proporcionalidad

Es la relación establecida entre magnitudes medibles. Dos segmentos en un plano son comparables, por lo que se puede establecer entre ellos una relación de proporcionalidad.

Razón

La razón de dos segmentos de longitudes a y b, consideradas con este orden siendo b distinto de cero, es el cociente de a/b.

Proporción

Es la igualdad entre dos razones. En la proporción hay cuatro términos:

• a y d se llaman extremos
• b y c se llaman medios

Teorema de Tales

Si dos rectas coplanarias y concurrentes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, se obtienen segmentos cuyas longitudes son directamente proporcionales.

Circunferencia y Círculo

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro.

Arco es una porción de circunferencia.

Círculo es la parte del plano interior a una circunferencia.

Polígonos

Polígonos Genéricos

Se denomina polígono a la figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierra una región en el espacio.

Triángulo

Se denomina triángulo al polígono formado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos que no están alineados.

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es la media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa.

Transformaciones Geométricas en el Plano

Las transformaciones geométricas son procedimientos mediante los cuales a cada uno de los puntos del plano le corresponde otro punto del plano. Por medio de estas transformaciones se establece una serie de correspondencias entre elementos.

Giro

Un giro es una transformación isométrica en la que, dado un centro O, un sentido y un ángulo α, a cada punto del plano le corresponde otro situado en el extremo opuesto de un arco con centro O, radio el mismo que el punto original y ángulo α.

Homopotencia

Desde un punto O y un número real k distinto de 0, una homotecia es la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro punto A' alineado con A y con O.

Al punto O se denomina centro de homotecia y al número k razón de homotecia.

Semejanza

Dos figuras planas son semejantes o proporcionales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Los elementos que se corresponden en una figura original y su semejante se denominan homólogos. La relación de proporcionalidad que existe entre segmentos homólogos se denomina razón de semejanza.

Escalas

Para resolver el problema de representar sobre el papel objetos excesivamente grandes o demasiado pequeños, se reducen o se amplían sus medidas en una proporción adecuada. Las escalas surgen para dar solución a estos problemas que se plantean en la representación gráfica de los elementos.

La escala es una relación entre dos dimensiones: la de la representación de un objeto (en este caso, el dibujo) y la del objeto real.

Equivalencia

Dos figuras planas son equivalentes si, teniendo diferente forma, tienen la misma área.