Geometría Plana: Cuadriláteros, Polígonos, Isometrías y Teoremas
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Definición de Cuadrilátero
Un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, donde no hay tres puntos colineales. Los segmentos se intersecan solo en sus extremos.
Tipos de Cuadriláteros
Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados paralelos dos a dos.
Trapecios
Un trapecio es un cuadrilátero convexo con solo dos lados paralelos.
Polígonos
Un polígono es la porción del plano determinada por una línea poligonal cerrada.
Teoremas sobre Paralelogramos
- a) Los ángulos de un paralelogramo suman 360º.
- b) Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
- c) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.
- d) Los ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios.
- e) Las diagonales se cortan en su punto medio.
Clasificación de Paralelogramos según sus Diagonales
- Diagonales del cuadrado: Isométricas y perpendiculares.
- Diagonales del rectángulo: Isométricas y no perpendiculares.
- Diagonales del rombo: Distintas y perpendiculares.
- Diagonales del romboide: Distintas y no perpendiculares.
Definición de Isometría
Una isometría es una transformación del plano T: R2 → R2 que conserva las distancias. Si A y B son dos puntos en el plano, y A' y B' son sus imágenes, se verifica que: d(A,B) = d(A',B').
Tipos de isometrías: traslaciones, giros y simetrías.
Traslación
Un vector AB es un segmento orientado, con un origen (primer punto) y un extremo (segundo punto). Teorema: Una traslación es una isometría.
Demostración: Si P y Q son dos puntos del plano, y P' y Q' son sus imágenes por una traslación Tu, entonces los vectores PP' y QQ' son equipolentes (son representantes de u), y el cuadrilátero PP'QQ' es un paralelogramo. Por consiguiente: d(P,Q) = d(P',Q').
Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos
Teorema de Pitágoras, teorema de la altura y teorema del cateto.
Teorema del Cateto
El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa.
Polígonos y sus Diagonales
¿Qué polígono tiene tantas diagonales como lados?
El único polígono que tiene tantos lados como diagonales es el pentágono (5 lados y 5 diagonales).
¿Qué polígono tiene el doble de diagonales que de lados?
Un heptágono tiene 7 lados y 14 diagonales. Se puede calcular con la fórmula: D = n * (n - 3) / 2, donde n es el número de lados. Por lo tanto: 7 * (7 - 3) = 28; 28 / 2 = 14 diagonales.
Ángulos Interiores de un Octógono Regular
La medida de cada ángulo interior de un octógono regular se calcula con la fórmula: 180(n-2)/n, donde n es el número de lados.
Sea x el ángulo interno, entonces:
- x = 180(8-2)/8
- x = 180 * 6 / 8
- x = 135º
Por lo tanto, cada ángulo interior de un octógono regular mide 135º.