Geometría Plana y Probabilidad: Conceptos y Fórmulas

Geometría Plana

Elementos Básicos

• Recta: Prolongación indefinida de un segmento por ambos extremos (r, s). Pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares.
• Semirrecta: Cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos (origen).
• Ángulo: Área delimitada por dos semirrectas de origen común (vértice). Se miden en radianes o grados sexagesimales. Tipos: nulo, recto, llano, completo, agudo, obtuso, complementarios, suplementarios.

Líneas y Segmentos Notables

• Bisectriz: Divide un ángulo en dos partes iguales.
• Altura: Recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

Triángulos

Polígono de 3 lados, 3 ángulos y 3 vértices. Propiedades: convexos, suma de ángulos interiores = 180º, ángulo exterior = suma de los interiores no adyacentes.

Clasificación según sus lados: equiláteros, isósceles, escalenos.

Clasificación según sus ángulos: rectángulos, acutángulos, obtusángulos.

Cuadriláteros

Polígono de 4 lados con dos diagonales.

Paralelogramos: lados opuestos paralelos e iguales, ángulos opuestos iguales. Tipos: rectángulo, rombo, cuadrado, romboide.

Trapecios: solo dos lados paralelos (bases). Tipos: rectángulo, isósceles, escaleno.

Trapezoides: no son paralelogramos ni trapecios. No tienen lados paralelos. Ejemplo: deltoides o cometas.

Polígonos Regulares

Polígonos convexos equiláteros y equiángulos. Ejemplos: pentágono, hexágono, heptágono, octógono, etc.

Fórmula para calcular el ángulo interior: (n-2)*180/n

Teorema de Thales

Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente entre los lados homólogos.

Generalización: si dos rectas secantes son cortadas por dos o más paralelas, los segmentos determinados en una recta secante son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Curvas y Superficies

• Curva: Línea continua de dirección unidimensional variable en el espacio. Puede ser cerrada o simple.
• Superficie: Extensión bidimensional que tiene longitud y anchura.

Poliedros

Sólidos cuya superficie es cerrada, simple y formada por polígonos.

Fórmula de Euler: Nº Caras + Nº Vértices = Nº Aristas + 2

Pirámides

Poliedro donde una cara es un polígono (base) y las demás son triángulos que convergen en un punto (vértice).

Clasificación según su inclinación: recta (caras laterales = triángulos isósceles) u oblicua.

Clasificación según el polígono de la base: regular o irregular, convexa o cóncava.

Tronco de pirámide: se obtiene al cortar una pirámide con un plano paralelo a la base.

Prismas

Poliedro donde dos caras son polígonos iguales y paralelos (bases) y las demás son paralelogramos (caras laterales).

Clasificación: rectos u oblicuos, regulares o irregulares, convexos o cóncavos.

Paralelepípedos

Prisma con 6 caras, todas paralelogramos. Tipos: ortoedros, cubos, oblicuos, romboedros.

Probabilidad

Regla de Laplace

Si todos los sucesos elementales de un espacio muestral son equiprobables, la probabilidad P(A) de un suceso A es:

P(A) = casos favorables / casos posibles

Probabilidad Condicionada

Probabilidad del suceso A dado que ha ocurrido el suceso B, representada como P(A/B):

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

Combinatoria

Números combinatorios:

(n sobre m) = n! / (m! * (n-m)!)

Variaciones ordinarias sin repetición:

V(m sobre n) = n! / (n-m)!

Variaciones con repetición:

VR(m sobre n) = n^m

Permutaciones y Combinaciones

Permutaciones sin repetición:

P(n) = n!

Combinaciones sin repetición:

C(n sobre m) = n! / (m! * (n-m)!)