Geometría Vectorial en el Espacio: Conceptos Clave y Aplicaciones

Posiciones Relativas en el Espacio

Entre Dos Rectas

• Vectores directores proporcionales:
  • Coincidentes: Un punto de una recta pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=1)
  • Paralelas: Un punto de una recta no pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=2)
• Vectores directores no proporcionales:
  • Se cortan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanares (determinante = 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=2)
  • Se cruzan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta no son coplanares (determinante ≠ 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=3)

Entre Dos Planos

• Coincidentes: Los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales (A/A' = B/B' = C/C' = D/D').
• Paralelos: Los coeficientes de las variables son proporcionales, pero el término independiente no (A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D').
• Secantes: Los coeficientes de las variables no son proporcionales (resto de casos).

Entre Recta y Plano

• Paralelas: El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (n · dr = 0), y un punto de la recta no pertenece al plano.
• Contenida: El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (n · dr = 0), y un punto de la recta pertenece al plano.
• Secantes: El vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano (n · dr ≠ 0).

Cálculo de Áreas y Volúmenes

Área del Paralelogramo

El área del paralelogramo definido por los vectores AB y AD es:

Área(ABCD) = |AB × AD|

Área del Triángulo

El área del triángulo definido por los vectores AB y AC es:

Área(ABC) = 1/2 |AB × AC|

Volumen del Paralelepípedo

El volumen del paralelepípedo definido por los vectores AB, AC y AD es:

Volumen(ABCD) = |[AB, AC, AD]|

Volumen del Tetraedro

El volumen del tetraedro definido por los vectores AB, AC y AD es:

Volumen(ABCD) = 1/6 |[AB, AC, AD]|

Punto Simétrico de un Punto Respecto a un Plano o una Recta

Procedimiento General

1. Calculamos la recta (si es simetría respecto a un plano) o el plano (si es simetría respecto a una recta) que es perpendicular al elemento dado y que pasa por el punto P.
2. Calculamos el punto de corte M entre la recta y el plano (o entre la recta y la recta en el caso de simetría respecto a una recta). Este punto M es la proyección ortogonal del punto P sobre el elemento de simetría. Ejemplo: Si M(x,y,z) = (3+2t, 2-t, 1+2t), sustituimos estas coordenadas en la ecuación del plano para hallar t y, por ende, M.
3. Dado que M es el punto medio entre P y su simétrico P', aplicamos la fórmula del punto medio para despejar P': P' = 2M - P.

Ecuaciones de Rectas Especiales

Recta Perpendicular Común a Dos Rectas que se Cruzan

• Obtener un punto y el vector director de cada recta (r y s).
• Calcular el vector director de la recta perpendicular común, que es el producto vectorial de los vectores directores de r y s: vt = vr × vs.
• Construir dos planos auxiliares:
  • Un plano π₁ que contenga a la recta r y cuyo vector director sea vt = vr × vs.
  • Un plano π₂ que contenga a la recta s y cuyo vector director sea vt = vr × vs.
• La recta perpendicular común t es la intersección de los planos π₁ y π₂.

Recta que Pasa por un Punto y Corta a Otras Dos Rectas

• Obtener un punto y el vector director de cada recta (r y s).
• Construir dos planos auxiliares:
  • Un plano π₁ que contenga al punto P y a la recta r. (Se forma con P, un punto de r, y el vector director de r).
  • Un plano π₂ que contenga al punto P y a la recta s. (Se forma con P, un punto de s, y el vector director de s).
• La recta buscada t es la intersección de los planos π₁ y π₂.

Recta que Pasa por un Punto, Corta a una Recta y es Paralela a un Plano

• Construir dos planos auxiliares:
  • Un plano π₁ que contenga al punto P y a la recta r. (Se forma con P, un punto de r, y el vector director de r).
  • Un plano π₂ que contenga al punto P y sea paralelo al plano π dado. (Su vector normal es el mismo que el de π, y pasa por P).
• La recta buscada s es la intersección de los planos π₁ y π₂.

Cálculo de Distancias

Distancia entre Dos Planos

• Si los planos son paralelos:
  • Se elige un punto cualquiera P de uno de los planos (por ejemplo, π₁).
  • Se calcula la distancia de este punto P al otro plano (π₂) utilizando la fórmula de distancia de un punto a un plano.
• Si los planos son secantes o coincidentes: La distancia es 0.

Distancia entre una Recta y un Plano

• Primero, se determina la posición relativa entre la recta y el plano.
• Si la recta es paralela al plano o está contenida en él:
  • Se elige un punto cualquiera P de la recta.
  • Se calcula la distancia de este punto P al plano. Si está contenida, la distancia será 0.
• Si la recta es secante al plano: La distancia es 0.

Distancia entre Dos Rectas

• Primero, se determina la posición relativa entre las dos rectas.
• Si las rectas se cruzan:
  • Se forma el vector PrPs (que une un punto de r con un punto de s).
  • Se aplica la fórmula: Distancia = |[vr, vs, PrPs]| / |vr × vs| (donde [vr, vs, PrPs] es el producto mixto).
• Si las rectas son paralelas:
  • Se elige un punto cualquiera P de una de las rectas.
  • Se calcula la distancia de este punto P a la otra recta.
• Si las rectas se cortan o son coincidentes: La distancia es 0.

Aplicaciones con Puntos Genéricos

Lugar Geométrico de Puntos Equidistantes

1. Puntos que equidistan de dos puntos A y B:
   • Sea G(x,y,z) un punto genérico.
   • Se igualan las distancias: d(A,G) = d(B,G).
   • Elevando al cuadrado ambos lados (para eliminar las raíces), se obtiene la ecuación del plano mediador.
2. Puntos que equidistan de dos planos π₁ y π₂:
   • Sea G(x,y,z) un punto genérico.
   • Se aplica la fórmula de distancia de un punto a un plano para ambos planos: d(G, π1) = d(G, π2).
   • Esto resultará en dos planos bisectores.
3. Punto de una recta r que equidista de dos puntos A y B:
   • Sea G(x,y,z) un punto genérico de la recta r (expresado en función de un parámetro, por ejemplo, G(-1+2t, -7+3t, t)).
   • Se igualan las distancias: d(A,G) = d(B,G).
   • Se resuelve la ecuación para el parámetro t, lo que nos dará las coordenadas del punto G.