Guía de Cálculo: Derivadas, TVM y Optimización de Funciones

TVM (Tasa de Variación Media)

Definición y Cálculo

TVM se define como el cambio promedio en una función sobre un intervalo dado. La fórmula general es:

TVM[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Ejemplo:

Calcular la TVM de f(x) = 1/x en el intervalo [1,3]:

TVM[1,3] = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (1/3 - 1/1) / 2 = -1/3

También se puede calcular la TVM usando intervalos de la forma [a, a+h]:

TVM[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h

Ejemplo con Intervalo [a, a+h]

Calcular la TVM de f(x) = -x^2 + 5x - 3 en el intervalo [1, 1+h]:

TVM[1, 1+h] = (f(1+h) - f(1)) / h

= (-(1+h)^2 + 5(1+h) - 3 - (-1^2 + 5(1) - 3)) / h

= (3 - h) / h

Esta expresión final permite sustituir diferentes valores de h para obtener la TVM en intervalos cercanos a 1.

Derivada por Definición

La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como:

f'(a) = lim (h->0) TVM[a, a+h] = lim (h->0) (f(a+h) - f(a)) / h

Ejemplo de Cálculo de Derivada

Hallar la derivada de f(x) = 3x^2 - 1 en x = 1:

f'(1) = lim (h->0) (f(1+h) - f(1)) / h

= lim (h->0) (3(1+h)^2 - 1 - (3(1)^2 - 1)) / h

= lim (h->0) (6h + 3h^2) / h

= lim (h->0) (3h + 6) = 6

Si se pide hallar la función derivada sin un valor específico de x, se utiliza el intervalo [x, x+h] en la definición de la derivada.

Reglas de Derivación

• ln(x) -> 1/x
• log(x) -> 1/x * 1/ln(base del logaritmo)

Regla de la Cadena

Para derivar funciones compuestas, se aplica la regla de la cadena, derivando de adentro hacia afuera.

Utilidades de las Derivadas

1. Obtener la Recta Tangente

La derivada proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado. Con la pendiente y el punto, se puede obtener la ecuación de la recta tangente usando la fórmula punto-pendiente.

2. Hallar Puntos con Pendiente Específica

Igualando la derivada a un valor específico, se pueden encontrar los puntos en la curva donde la recta tangente tiene esa pendiente.

3. Puntos Singulares (Máximos y Mínimos)

Los puntos singulares son aquellos donde la derivada es cero, lo que indica una pendiente horizontal. Estos puntos pueden ser máximos o mínimos locales de la función.

Optimización de Funciones

Hallar Máximos y Mínimos

Los puntos singulares son posibles candidatos a máximos o mínimos. Para determinar si un punto singular es un máximo o mínimo, se pueden utilizar pruebas de la segunda derivada o analizar el comportamiento de la función en intervalos alrededor del punto.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

La derivada también indica dónde la función crece o decrece. Si la derivada es positiva en un intervalo, la función es creciente; si es negativa, la función es decreciente.

Para optimizar una función en un intervalo específico, se hallan los puntos singulares dentro del intervalo y se evalúa la función en esos puntos y en los extremos del intervalo para determinar los valores máximo y mínimo.