Guía de Cálculo Diferencial: Derivadas, Continuidad y Más
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Fórmulas y Conceptos Básicos
{Ç n=n·Ç n-1·Ç’} {Ç·&= Ç’·&+Ç·&’} {Ç/&= (Ç’·&-Ç·&’)/ &2}
{aÇ=Ç’· aÇ · Ln a}
{Loga Ç = Ç’/ Ç·Ln a} {Ln Ç= Ç’/Ç} {e
Raiz x=x1/2}{Ln x=2 -> x= e2}{e0=1} {(ex )’=ex}{(Ln x)’= 1/x} {Log x=2 -> x=102}
{x-1= 1/x1}
Continuidad (a Trozos)
Para analizar la continuidad de una función a trozos en un punto, como x=0, se evalúa la función en ese punto y se comparan los límites laterales:
X=0 -> F(0) = limx->0- f(x) = limx->0+ f(x)
Si los valores coinciden, la función es continua en x=0.
Derivabilidad (a Trozos)
Para analizar la derivabilidad de una función a trozos en un punto, como x=0, se calculan las derivadas laterales:
X=0 -> F’(0-) = F’(0+)
Si las derivadas laterales coinciden, la función es derivable en x=0.
Puntos de Corte
Puntos de corte con el eje x: f(x)=0
Puntos de corte con el eje y: y=f(0)
Para funciones a trozos, se deben analizar los puntos de corte con cada una de las funciones que la componen.
Asintotas
Asintotas Verticales (AV)
Se analizan los valores que hacen cero el denominador de la función. Si el límite en esos puntos tiende a ±∞, se calculan los límites laterales para determinar la existencia de asíntotas verticales.
Asintotas Horizontales (AH)
Se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito. Si el resultado es un número finito, existe una asíntota horizontal.
Asintotas Oblicuas (AO)
Si el límite de la función cuando x tiende a infinito es infinito, se calcula la pendiente (m) y el término independiente (n) de la asíntota oblicua utilizando las siguientes fórmulas:
m= Lim x->∞ = f (x)/x
n= Lim x->∞ = f (x) – mx
Monotonía
Para analizar la monotonía de una función, se utiliza la primera derivada. Se identifican los puntos críticos (donde la derivada es cero o no existe) y se construye una tabla de signos. La monotonía de la función se determina según el signo de la derivada en cada intervalo.
Curvatura
Para analizar la curvatura de una función, se utiliza la segunda derivada. Se identifican los puntos de inflexión (donde la segunda derivada cambia de signo) y se construye una tabla de signos. La curvatura de la función se determina según el signo de la segunda derivada en cada intervalo.
Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en un punto (a, f(a)) se calcula mediante la siguiente fórmula:
y-f (a)= f’(a)(x-a)
Puntos de Inflexión (P.I)
Para encontrar los puntos de inflexión, se iguala la segunda derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante. Los valores obtenidos se sustituyen en la función original para obtener las coordenadas de los puntos de inflexión.
Cálculo de Parámetros
Para calcular parámetros desconocidos en una función, se utilizan las condiciones dadas, como puntos de extremo, puntos de inflexión, etc., y se resuelven las ecuaciones resultantes.
Problemas de Aplicación
Se pueden aplicar los conceptos de cálculo diferencial para resolver problemas que involucran el análisis de funciones, como determinar el dominio, puntos de corte, asíntotas, monotonía, curvatura y representación gráfica.