Guía Completa para el Análisis de Funciones

Estudio de la Continuidad

1. Resolvemos la operación del denominador para sacar los puntos críticos (lo igualamos a 0).

2. Estudiamos la continuidad para cada punto obtenido:

• Si los límites laterales coinciden y la imagen coincide: La función es continua.
• Si coinciden pero la imagen no: Discontinuidad de salto evitable.
• Si los resultados no coinciden: Discontinuidad de salto finito/infinito.

Para las funciones a trozos:

• Los puntos críticos serán los dados en la función.
• Hay que hacer una recta representando los puntos críticos y a qué lugar está cada ecuación.
• Al estudiar la continuidad el valor deberá ser el punto crítico.

Estudio de la Derivabilidad

1. Estudiamos la continuidad. Para que la función sea derivable f(x) debe ser continua.

2. Estudiamos la derivabilidad. Derivamos la función y sustituimos.

RECORDATORIO

• 1/0: infinito.
• 0/1: 0.

Derivadas para Examen

• ln = 1/fx * f'x
• e^f(x) = e^f(x) * f'x

Estudio de una Función

DOMINIO. PUNTOS DE CORTE EJE Y. PUNTOS DE CORTE EJE X. / PUNTOS CRÍTICOS. CRECIMIENTO. ASÍNTOTAS.

1. Calculamos el dominio, resolvemos el denominador igualándolo a 0.

2. Puntos de corte eje y (x=0).

3. Puntos de corte eje x (y=0).

4. Sacamos los puntos críticos. Derivamos la función y simplificamos.

5. Crecimiento. Hacemos la tabla con los puntos críticos dando valores a cada sector.

6. Asíntotas.

• Asíntota horizontal. Ponemos límites infinito y -infinito, si el resultado es un número tiene asíntota horizontal.
• Asíntota vertical. Ponemos límite punto crítico. Si el resultado es infinito tiene asíntota vertical.

7. Representar la función. Asíntotas: - - - -. Función no existe. O.

Crecimiento y Curvatura de una Función

Derivamos. (Máximo, mínimo y crecimiento) Se iguala la derivada a 0 y resolvemos, el resultado será un punto crítico. Derivamos la primera derivada para obtener una segunda derivada. Sustituimos el punto crítico en la x de la segunda derivada, si el resultado es mayor que 0 es un mínimo y si es mayor que 0 es un máximo. Calculo el crecimiento, sustituyo en la ecuación el punto crítico de la derivada para obtener el otro punto del mínimo.

Para la curvatura: Igualamos la segunda derivada a 0 y resolvemos. Hacemos una tabla para ver la curvatura, dando valores y sustituyendo en la segunda derivada. Cóncava: feliz, convexa: triste.

Problemas de Optimización

1. Encontramos las incógnitas.

2. Escribimos la función que nos piden que maximicemos = x.y.

3. Buscamos la relación entre las 2 incógnitas.

4. Despejamos una de las dos incógnitas para sustituirla y que nos quede una sola incógnita.

5. Derivamos la función obtenida y la igualamos a 0 y resolvemos.

6. Hacemos una recta y ponemos el resultado y elegimos un número a la izquierda y a la derecha y vemos si crece o decrece.